Линейные системы управления
Линейная система автоматического управления – это система автоматического управления, поведение звеньев которой описывается линейными уравнениями - разностными, алгебраическими, дифференциальными.
В первую очередь необходимо, чтобы статистические характеристики всех звеньев автоматической системы управления были линейными. В том случае, когда уравнения, описывающие систему автоматического управления, имеют постоянные коэффициенты, такая система управления является обыкновенной линейной системой с сосредоточенными параметрами. Существует особый вид линейных систем автоматического управления. В том случае, когда система описывается линейным уравнением в частных производных, то она является линейной с распределенными параметрами. Если динамика какого-либо звена линейной системы автоматического управления описывается линейным уравнением с запаздывающим аргумента, то такая система является линейной с запаздыванием.
Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом – это дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, где производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит в состав уравнения при одинаковых значениях аргумента, и данный аргумент не меньше, чем аргументы неизвестной функции, а также ее производных, которые входят в состав уравнения.
Устойчивость линейных систем управления
Устойчивость системы – это способность системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим, после выхода из него в результате какого-либо воздействия.
Устойчивость линейной автоматической системы управления является одним из самых необходимых условий ее правильного функционирования. Проблема неустойчивости, в большинстве случаев, обусловлена стремлением обеспечить качество автоматической системы управления, то есть достаточной условие ее функционирования, за счет введения корректирующих звеньев, а также обратных связей по контролируемым координатам. В ряде случаев введение обратной связи делает систему устойчивой, которая неустойчива в разомкнутом состоянии. Так как большинство реальных систем автоматического управления являются нелинейными, то возникает необходимость понимания, что оценка устойчивости линеаризованной модели системы является правомочной. Ляпуновым были сформулированы следующие условия устойчивости системы по ее линеаризованной модели:
- В том случае, когда линейная система находится на границе устойчивости, то делать выводы об устойчивости реальной системы автоматического управления нельзя, поэтому необходим анализ отброшенных членов при их линеаризации.
- В том случае, когда линейная система является устойчивой, то устойчивой является и реальная система автоматического управления. В данном случае отброшенные при линеаризации члены никак не могут изменить ее устойчивость.
- В том случае, когда линейная система является неустойчивой, то неустойчива и реальная система автоматического управления. В данном случае отброшенные при линеаризации члены не могут сделать ее устойчивой.
Существует необходимость различать устойчивость «в большом» и устойчивость «в малом». Система является устойчивой «в малом» в том случае, когда она обладает ограниченной реакцией на ограниченное воздействие, которое может быть возмущающим или задающим. Система является устойчивой «в большом», если она остается устойчивой при любом значении входного воздействия.
Устойчивость линейной системы не зависит от действующих воздействий и определяется ее характеристиками. Следовательно, для того, чтобы определить линейной системы необходимо найти изменение ее управляемой величины, для чего используется характеристическое уравнение. Для линейных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательные вещественные составляющие. Условие устойчивости системы - расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной передаточной функции системы, как показано на рисунке ниже:
Рисунок 1.
В настоящее время разработаны косвенные признаки, благодаря которым можно сделать выводы о знаках действительных частей корней характеристического уравнения, без их определения. К таким признакам относятся:
- Критерий Михайлова.
- Критерий Найквиста.
- Критерий Рауса-Гурвица
