Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Алгебраические функции

Какими бывают функции?

Чтобы не заблудиться среди огромного разнообразия функций, очень важно выделить признаки той их части, которая называется алгебраическими функциями.

Прежде всего определимся с элементарными функциями.

Определение

Любая функция $f$ считается элементарной, если она задана одним уравнением $y=f\left(x\right)$, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и композиций.

В определении применены следующие понятия:

  1. Арифметические действия

    Это значит, что над двумя данными произвольными функциями $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ в данной области определения можно выполнять сложение $u\left(x\right)+v\left(x\right)$, вычитание $u\left(x\right)-v\left(x\right)$, умножение $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$, а также деление $\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} $. При делении предполагается, что для всех $x$ из данной области определения выполняется условие $v\left(x\right)\ne 0$.

  2. Операция композиции

    Операция композиции состоит в следующем. Пусть $y$ является функцией от $u$, то есть $y=f\left(u\right)$. Пусть также в свою очередь, $u$ является функцией независимой переменной $x$, то есть $u=g\left(x\right)$. В этих условиях функция $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ называется композицией данных функций $f$ и $g$.

Пример 1

Функция $y=\frac{x\cdot 3^{x} }{\sqrt{2-\cos x} } +\arcsin ^{2} x$ является элементарной. В ней использованы все четыре арифметических действия, основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, тригонометрическая и обратная тригонометрическая), а также представлены композиции функций в виде $\arcsin ^{2} x$ и $\sqrt{2-\cos x} $.

Все элементарные функции распределяют на алгебраические и трансцендентные (те, которые к алгебраическим не относятся).

Разновидности алгебраических функций

Существует три основных разновидности алгебраических функций.

Целые рациональные функции (многочлены, полиномы)

Это функции вида $y=P\left(x\right)=a_{n} \cdot x^{n} +a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} $, где $a_{0} ,\; a_{1} ,\; \ldots ,\; a_{n} $ -- постоянные действительные числа, называемые коэффициентами, $n$ -- целое неотрицательное число. Если $a_{n} \ne 0$, то $n$ называют степенью многочлена.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 2

Многочлен второй степени $y=3\cdot x^{2} -x+5$. Многочлен нулевой степени $y=7$.

Дробно-рациональные функции (рациональные дроби)

Это функции вида $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{a_{n} \cdot x^{n} +a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} }{b_{m} \cdot x^{m} +b_{m-1} \cdot x^{m-1} +\ldots +b_{1} \cdot x+b_{0} } $, представляющие собой отношение двух многочленов.

Пример 3

Рациональная дробь $y=\frac{x^{2} +1}{7\cdot x^{3} +4\cdot x-2} $.

Иррациональные функции

В состав таких функций входят рациональные функции с нецелыми рациональными показателями степени при использовании арифметических действий. Внешний признак иррациональной функции -- наличие корней различной степени.

Пример 4

Иррациональная функция $y=3-\sqrt[{5}]{x^{2} } +\sqrt{\frac{x+1}{x^{2} -1} } $.

Свойства рациональных дробей

Дана рациональная дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{a_{n} \cdot x^{n} +a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} }{b_{m} \cdot x^{m} +b_{m-1} \cdot x^{m-1} +\ldots +b_{1} \cdot x+b_{0} } $, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ -- многочлены. Пусть коэффициенты $a_{n} \ne 0$ и $b_{m} \ne 0$. Тогда указанные многочлены имеют степени $n$ и $m$ соответственно. Данная рациональная дробь определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель $Q\left(x\right)=0$.

Рациональную дробь называют правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть $n

Деление рациональных дробей

Если рациональная дробь является неправильной, то посредством деления числителя $P\left(x\right)$ на знаменатель $Q\left(x\right)$ её можно представить в виде$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =M\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ или $P\left(x\right)=M\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)+R\left(x\right)$, где $\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ -- правильная рациональная дробь, а многочлены $M\left(x\right)$ и $R\left(x\right)$ -- соответственно частное и остаток от деления многочленов. При этом сумма степеней многочленов $M\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ равна степени многочлена $P\left(x\right)$.

Задача 1

Разделить многочлены $\frac{3\cdot x^{4} -2\cdot x^{3} -x^{2} +7\cdot x-5}{x^{2} -2\cdot x+3} $.

Деление в данном случае возможно, так как степень числителя (четвёртая) больше степени знаменателя (вторая). Деление многочленов выполняем "углом".

Задача 1

Результат деления имеет следующий вид:

\[\frac{3\cdot x^{4} -2\cdot x^{3} -x^{2} +7\cdot x-5}{x^{2} -2\cdot x+3} =3\cdot x^{2} +4\cdot x-2+\frac{-9\cdot x+1}{x^{2} -2\cdot x+3} .\] Здесь $M\left(x\right)=3\cdot x^{2} +4\cdot x-2$ -- частное от деления, $R\left(x\right)=-9\cdot x+1$ -- остаток от деления.

Сокращение рациональных дробей

Рациональная дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $, как и числовая, бывает сократимой или несократимой. Предположим, что данная рациональная дробь является сократимой, так как оба многочлена $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ имеют общие множители, содержащие переменную $x$. Произведение всех этих множителей называется наибольшим общим делителем данных многочленов, то есть $P\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot P_{1} \left(x\right)$ и $Q\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot Q_{1} \left(x\right)$, где многочлен $N\left(x\right)$ -- наибольший общий делитель. В этом случае данная рациональная дробь приобретает вид $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{N\left(x\right)\cdot P_{1} \left(x\right)}{N\left(x\right)\cdot Q_{1} \left(x\right)} =\frac{P_{1} \left(x\right)}{Q_{1} \left(x\right)} $, где рациональная дробь $\frac{P_{1} \left(x\right)}{Q_{1} \left(x\right)} $ является несократимой, а многочлены $P_{1} \left(x\right)$ и $Q_{1} \left(x\right)$ называются взаимно простыми. Если многочлен $N\left(x\right)$ -- какой-то один наибольший общий делитель, то многочлены $C\cdot N\left(x\right)$, где $C$ -- произвольная константа, тоже будут наибольшими общими делителями. Общим делителем взаимно простых многочленов может считаться произвольная константа.

Наибольший общий делитель многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ можно найти с помощью алгоритма Евклида:

  1. пусть $U\left(x\right)$ и $V\left(x\right)$ -- это новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$, причем $U\left(x\right)$ -- это тот, который имеет большую степень;
  2. делим многочлен $U\left(x\right)$ на многочлен $V\left(x\right)$ и получаем $\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =M\left(x\right)+\frac{P\left(x\right)}{V\left(x\right)} $, где новый многочлен $P\left(x\right)$ представляет собой остаток от деления;
  3. обозначаем многочлен $V\left(x\right)$ как $Q\left(x\right)$ и возвращаемся на шаг 1.

Выполнение данного алгоритма повторяем, пока на шаге 2 не будет достигнуто нулевое значение остатка от деления $P\left(x\right)=0$. Тогда предпоследний, отличный от нуля остаток от деления, будет наибольшим общим делителем данных многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$.

Если полученный по алгоритму Евклида наибольший общий делитель будет иметь вид многочлена $N\left(x\right)$, зависящего от $x$, то данную рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ можно сократить посредством деления и числителя, и знаменателя на $N\left(x\right)$. Если же наибольший общий делитель будет получен в виде константы, то данную рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ следует считать несократимой.

Задача 2

Сократить рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{x^{2} +x-6}{x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3} $.

Сначала по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$:

\[U\left(x\right)=x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3; V\left(x\right)=x^{2} +x-6.\]

Шаг 2. Результат деления многочленов:

$\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =\frac{x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3}{x^{2} +x-6} =x+1+\frac{x+3}{x^{2} +x-6} $, где новый многочлен $P\left(x\right)=x+3$ представляет собой остаток от деления.

Задача 3

Переобозначаем $Q\left(x\right)=x^{2} +x-6$ и возвращаемся на шаг 1.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$:

\[U\left(x\right)=x^{2} +x-6; V\left(x\right)=x+3.\]

Шаг 2. Результат деления многочленов: $\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =\frac{x^{2} +x-6}{x+3} =x-2$, где остаток от деления $P\left(x\right)=0$.

Таким образом, наибольший общий делитель -- это предыдущий, отличный от нуля остаток, то есть $N\left(x\right)=x+3$. Этот наибольший общий делитель представляет собой многочлен, зависящий от $x$, следовательно, сокращение данной рациональной дроби возможно:

\[\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{x^{2} +x-6}{x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3} =\frac{x-2}{x^{2} -x-1} .\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис