Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Геометрия / Площадь. Формулы площади / Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Площадь параллелограмма

Теорема 1

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=ah\]

где $a$ сторона параллелограмма, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).



Рисунок 1.

Очевидно, что фигура $FDAE$ -- прямоугольник.

\[\angle BAE={90}^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-{90}^0={180}^0-\angle A-{90}^0={90}^0-\angle A=\angle BAE\]

Следовательно, так как $CD=AB,\ DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогда

\[S_{FDAE}=S_{ABCD}-S_{CDF}+S_{BAE}=S_{ABCD}-S_{CDF}+S_{CDF}=S_{ABCD}\]

Значит по теореме о площади прямоугольника:

\[S_{ABCD}=S_{FDAE}=ah\]

Теорема доказана.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема 2

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=absin\alpha \]

где $a,\ b$ стороны параллелограмма, $\alpha $ -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).



Рисунок 2.

По определению синуса, получим

\[sin\alpha =\frac{DF}{CD}=\frac{h}{b}\]

Следовательно

\[h=bsin\alpha \]

Значит, по теореме $1$:

\[S=ah=absin\alpha \]

Теорема доказана.

Площадь треугольника

Теорема 3

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=\frac{1}{2}ah\]

где $a$ сторона треугольника, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).



Рисунок 3.

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда

\[S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\]

Значит по теореме $1$:

\[S_{ABC}=\frac{1}{2}ah\]

Теорема доказана.

Теорема 4

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=\frac{1}{2}absin\alpha \]

где $a,\ b$ стороны треугольника, $\alpha $ -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда

\[S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\]

Значит по теореме $1$:

\[S_{ABC}=\frac{1}{2}absin\alpha \]

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Теорема 5

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.

Математически это можно записать следующим образом

\[S=\frac{1}{2}(a+b)h\]

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a,\ BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).



Рисунок 4.

\[S_{ABCK}=S_{ABK}+S_{BCK}\]

По теореме $3$, получим

\[S_{ABK}=\frac{1}{2}AK\cdot BM=\frac{1}{2}ah,\ S_{BCK}=\frac{1}{2}BC\cdot KP=\frac{1}{2}bh\]

Тогда

\[S_{ABCK}=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(a+b)h\]

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются ${60}^0$.

Тогда, по теореме $4$, имеем

\[S=\frac{1}{2}a\cdot a\cdot sin{60}^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис