Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти смешанное произведение векторов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Геометрия / Векторы / Как найти смешанное произведение векторов
Как найти смешанное произведение векторов

Предварительные сведения

Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{α}\overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{α}\overline{β}=α_1 α_2+β_1 β_2$

Обозначение: $\overline{α}\cdot \overline{β}$.

Определение 2

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

  1. $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
  2. $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
  3. $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 1)

Понятие смешанного произведения векторов

Определение 3

Смешанным произведением векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора $\overline{α}$ на вектор векторного произведения $\overline{β}х\overline{γ}$ двух других векторов.

Обозначение: $(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})$.

Математически это выглядит следующим образом:

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{β}х\overline{γ})$

Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:

  1. Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
  2. Если эти векторы будут являться компланарными.
Пример 1

Найти значение смешанного произведения векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, которые имеют координаты $(0,0,5)$, $(0,4,0)$ и $(3,0,0)$, соответственно.

Решение.

Из определений 1, и 3 будем получать

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{β}х\overline{γ})=|\overline{a}||\overline{β}х\overline{γ}|cos∠(\overline{α},\overline{β}х\overline{γ})$

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):

Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов $\overline{β}$ и $\overline{γ}$

Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^0$. Найдем длины этих векторов:

$|\overline{β}|=\sqrt{0+16+0}=4$

$|\overline{γ}|=\sqrt{9+0+0}=3$

Тогда, по определению 2, получим

$|\overline{β}х\overline{γ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор $\overline{β}х\overline{γ}$ принадлежит оси $Oz$ и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами $\overline{α}$ и $\overline{β}х\overline{γ}$ равняется $0^\circ$.

Длина вектора $\overline{α}$

$|\overline{α}|=\sqrt{0+0+25}=5$

Получим

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=|\overline{a}||\overline{β}х\overline{γ}|cos∠(\overline{α},\overline{β}х\overline{γ})=5\cdot 12\cdot cos0^\circ=60$

Ответ: $60$.

Вычисление смешанного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ и $(γ_1,γ_2,γ_3)$, соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\begin{vmatrix}α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\\γ_1&γ_2&γ_3\end{vmatrix}$

Иначе, получим

$\overline{α}х\overline{β}=α_1 β_2 γ_3+α_3 β_1 γ_2+α_2 β_3 γ_1-α_3 β_2 γ_1-α_2 β_1 γ_3-α_1 β_3 γ_2$

Пример 2

Найти значение смешанного произведения векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ с координатами $(1,1,0)$, $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=18+(-3)+0-0-6-0=18-9=9$

Ответ: $9$.

Свойства смешанного произведения векторов

Для произвольных четырех векторов $\overline{α}, $\overline{β}$, $\overline{γ}$ и $\overline{δ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:

1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{δ}х\overline{γ})=(\overline{α}х\overline{δ})\cdot \overline{γ}$

2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=(\overline{δ},\overline{γ},\overline{α})=(\overline{γ},\overline{α},\overline{δ})$

3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=-(\overline{β},\overline{α},\overline{γ})=-(\overline{γ},\overline{δ},\overline{α})=-(\overline{α},\overline{γ},\overline{δ})$

4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:

$(r\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

$(\overline{α},r\overline{δ},\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

$(overlie{α},\overline{δ},r\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

5) Справедливы равенства:

$(\overline{α}+\overline{β},\overline{δ},\overline{γ})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{β},\overline{δ},\overline{γ})$

$(\overline{α},\overline{δ}+\overline{β},\overline{γ})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})$

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ}+\overline{β})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{α},\overline{δ},\overline{β})$

6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):

$S=|(\overline{α},\overline{β},\overline{c})|$