Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнение плоскости через 3 точки

Все предметы / Математика / Уравнение плоскости через 3 точки

Для начала стоит напомнить, как выглядит общее уравнение плоскости:

$Ax \cdot + By + Cz + D = 0\left(1\right)$,

при этом: $\{A; B; C\}$ — координаты нормального вектора данной плоскости, а $D$ — свободный член.

В общем уравнении коэффициенты $A, B, C$ не могут быть одновременно равны нулю, если же один из коэффициентов нулевой — уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через центр осей координат.

Также в дальнейшем нам пригодится уравнение плоскости, заданной точкой, лежащей в данной плоскости и нормальным вектором:

$A(x-x_0)+B(y-y_0) + C(z-z_0)=0\left(2\right)$,

здесь $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты точки плоскости.

Теперь непосредственно к делу.

Уравнение плоскости через три точки можно выразить несколькими способами: с помощью смешанного произведения векторов и выразив сначала нормальный вектор плоскости и используя одну точку.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, через смешанное произведение векторов

Рассмотрим три точки $M_1, M_2, M_3$, не находящиеся на одной прямой. Соответственно аксиоме стереометрии о том, что три точки задают плоскость, и притом только одну, все эти точки лежат в одной плоскости $α$.

Плоскость через 3 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Плоскость через 3 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим точку $M$, лежащую в плоскости $α$. Если описать плоскость $α$ как множество точек $M$, вектора $\vec{M_1M_2}$, $\vec{M_1M_3}$ и $\vec{M_1M}$ должны быть компланарны между собой. А как известно, вектора компланарны между собой если их смешанное произведение равно нулю.

Соответственно, для того чтобы вычислить это смешанное произведение, необходимо вычислить определитель третьего порядка, каждая строка которого является координатами вышеперечисленных векторов.

Готовые работы на аналогичную тему

Пусть координаты точек $M, M_1, M_2, M_3$ — $(x; y; z), (x_1;y_1; z_1), (x_2;y_2; z_2), (x_3;y_3;z_3)$ соответственно. Тогда координаты каждого из вышеперечисленных векторов составят:

$\vec{M_1M_2}=\{x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1\}$;

$\vec{M_1M_3}= \{x_3-x_1; y_3-y_1; z_3-z_1\}$;

$\vec{M_1M} = \{x-x_1; y-y_1; z-z_1\}$.

Составим определитель, описывающий смешанное произведение векторов:

$\begin{array}{|ccc|} x-x_1 && y-y_1 && z-z_1 \\ x_2-x_1 && y_2-y_1 && z_2-z_1 \\ x_3-x_1 && y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array}=0$ — уравнение плоскости через 3 точки.

При вычислении этого определителя получается общее уравнение плоскости, проходящей через три точки. Это можно увидеть, раскрыв определитель по первой строке:

$\begin{array}{|cc|} y_2-y_1 && z_2-z_1 \\ y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array} \cdot ( x-x_1) + \begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && z_2-z_1 \\ x_3-x_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array} \cdot (y-y_1) + \begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && y_2-y_1 \\ x_3-x_1 && y_3-y_1 \\ \end{array} \cdot (z-z_1) = 0\left(3\right)$.

Коэффициенты из уравнения $(3)$ также совпадают с координатами векторного произведения $\vec{M_1M_2}×\vec{M_1M_3}$ и, так как два этих вектора неколлинеарны и параллельны рассматриваемой плоскости $α$, данное векторное произведение представляет собой нормальный вектор к плоскости, для которой составляется уравнение.

Уравнение плоскости, заданной 3 точками, через нормальный вектор и точку

Другим альтернативным методом задания плоскости является использование нормального вектора плоскости и точки, принадлежащей данной плоскости.

Для того чтобы воспользоваться данным методом, найдём векторное произведение векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$[\vec{M_1M_2} × \vec{M_1M_3}]= \begin{array}{|ccc|} \vec{i} &&\vec{j} &&\vec{k} \\ x_2-x_1 &&y_2-y_1 &&z_2-z_1 \\ x_3-x_1 &&y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array}=0$.

Данное произведение является нормальным вектором плоскости, для которой составляется уравнение. Полученные координаты нормального вектора можно использовать непосредственно для составления уравнения плоскости.

Зная точку, принадлежащую этой плоскости, можно подставить координаты нормального вектора и координаты точки в уравнение $(2)$ и получить уравнение плоскости:

$n_x(x-x_3)+n_y(y-y_3)+n_z(z-z_3)=0$.

В этом уравнении $n_x; n_y; n_z$ — координаты нормального вектора, определённого из векторного произведения векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, а $(x_3; y_3; z_3)$ — некая точка, принадлежащая данной плоскости.

Замечание 1

По сути, два вышеприведённых метода представляют одно и то же, так как в обоих необходимо найти координаты нормального вектора и затем, используя их и координаты третьей неиспользованной точки, получить уравнение самой плоскости.

К данной задаче можно также свести задачу с нахождением уравнения плоскости по уравнениям лежащих в ней параллельных и пересекающихся прямых.

Пример 1

Cоставить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки $M_1,M_2, M_3$ c координатами $(1;2;3), (1;2;4)$ и $(4;2;-1)$ соответственно.

Воспользуемся вторым способом и найдём координаты вектора через векторное произведение. Для этого сначала выразим координаты векторов:

$M_1M_2=\{1-1;2-2;4-3\}=\{0;0;1\}$

$M_1M_3=\{4-1;2-2;-1-3\}=\{3;0;-4\}$

Найдём их векторное произведение:

$[\vec{M_1M_2} × \vec{M_1M_3}]= \begin{array}{|ccc|} \vec{i} && \vec{j} && \vec{k} \\ 0 &&0 &&1 \\ 3 &&0 &&-4 \\ \end{array}=\vec{i} \cdot \begin{array}{|cc|}\\ 0 &&1 \\ 0 &&-4 \\ \end{array} + \vec{j} \cdot \begin{array}{|cc|} \\ 0 &&1 \\ 3 &&-4 \\ \end{array} + \vec{k} \cdot \begin{array}{|cc|} \\ 0 &&0 \\ 3 &&0 \\ \end{array}=0+(-3) \cdot \vec{j} + 0 \Rightarrow \vec{n}=\{0;-3;0\}$.

Подставим координаты нормального вектора в уравнение $(2)$:

$0\cdot(x-4)+(-3) \cdot (y-2)+0 \cdot(z+1)=0$.

$-3y+6=0$ — искомое уравнение плоскости.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис