Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Расстояние от точки до плоскости

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости

Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Определение 1

Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.

Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |\vec{n} \cdot \vec{M_1M_0}|\left(1\right)$, где $\vec{M_1M_0}$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec{n}$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\{A;B;C\}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

$\vec{n}= \frac{\{A;B;C\}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$.

Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec{M_1M_0}$:

$\vec{M_0M_1}= \{x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\}\left(3\right)$.

Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:

$ρ= \frac{|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\left(4\right)$

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

  1. Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
  2. После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
  3. Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
  4. Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_1M_0}$.
Пример 1

Найдите расстояние от точки $M_0$, заданной координатами $(1;2;3)$ до плоскости $β$, заданной уравнением $5x+2y-z+3=0$

Воспользуемся формулой $(4)$:

$ρ=\frac{|5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 -3 \cdot1+3|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{30}}$.