Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.
Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.
Рисунок 1. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Статья: Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула
Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.
Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод
Рассмотрим методику нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ через координатный метод.
Прямая $L_1$ задана каноническими уравнениями $\frac{x-x_1}{l_1} =\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$, а прямая $L_2$ — $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$.
Прежде всего необходимо найти уравнение плоскости $β$, параллельной прямой $L_1$. Для этого необходимо найти векторное произведение направляющих векторов прямых $L_1$ и $L_2$, данное произведение представляет собой координаты нормального вектора плоскости $β$:
$[ \{l_1;m_1;n_1\} \cdot \{l_2;m_2;n_2\}]=\begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ l_1 & m_1 &n_1 \\ l_2 & m_2 &n_2 \\ \end{array}\left(1\right)$.
При вычислении выражения $(1)$ мы получим коэффициенты для общего уравнения плоскости $β$ — $A, B$ и $C$.
Для того чтобы записать всё общее выражение плоскости, подставим координаты любой точки, лежащей на $L_2$ в общую форму, например, можно подставить точку с координатами $(x_2;y_2; z_2)$, получим следующее:
$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.
Теперь достаточно выбрать любую точку на прямой $L_1$, пусть это будет точка $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$.
Расстояние от плоскости $β$ до точки $M_1$ составит:
$ρ=\frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$,
где $A, B, C$ и $D$ — коэффициенты уравнения плоскости $β$, а $(x_1;y_1; z_1)$ — координаты точки, лежащей на прямой $L_1$.
Данная формула позволяет высчитать расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Определить расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$.
$L_1: \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{-1}$ $L_2: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{-2}; z-1=0$.
Найдём нормальный вектор плоскости, в которой лежит прямая $L_2$, для этого выпишем направляющие вектора для каждой из прямых:
$L_1: \vec{s_1}= \{2;-3;-1\}$, точка на этой прямой — $(2;-1;0)$
$L_2: \vec{s_2}= \{1;-2;0\}$, точка на этой прямой — $(-1;0;1)$
Теперь найдём векторное произведение векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$, полученный вектор является нормальным вектором плоскости, в которой лежит $L_2 $:
$[\vec{s_1}\cdot \vec{s_2}]= \begin{array}{|ccc|} i &j &k \\ 2 &-3 &-1 \\ 1 &-2 &0 \\ \end{array}=((-3) \cdot 0 -2) \cdot \vec{i} + (2 \cdot 0 + 1)\vec{j} + ((-4) + 3) \cdot \vec{k} = -2\vec{i} + \vec{j} -k = \{-2;1;-1\}$
Подставим координаты точки $(-1;0;1)$, принадлежащей прямой $L_2$, в общее уравнение плоскости:
$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$
Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:
$-2x+y-z+1=0$
Теперь, используя координаты точки $(2;-1;0)$, лежащей на первой прямой, можно воспользоваться формулой $(2)$ для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
$ρ=\frac{|(-2) \cdot 2 + 1 \cdot(-1) + (-1) \cdot(0) + 1|}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{|(-4)+(-1)+1|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{4}{\sqrt{6}}$
Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми
Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:
$ρ=\frac{\begin{array}{|ccc|} l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end{array}}{\sqrt{\begin{array}{|cc|} m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end{array}^2}}\left(3\right)$
Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.
Найти расстояние между вышеприведёнными прямыми с помощью формулы $(3)$.
Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:
$L_1$ имеет направляющий вектор $\{2; -3; -1\}$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(2; -1; 0)$.
$L_2$ имеет направляющий вектор $\{1; -2; 0 \}$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(-1; 0; 1)$.
Воспользуемся формулой $(3)$:
$ρ=\frac{\begin{array}{|ccc|} 2 & -3 &-1\\ 1 &-2 &0\\ (-1 -2) &(0+ 1) &(1-0) \\ \end{array}}{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -3 &-1 \\ -2 &0 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 2 & -1 \\ 1 &0 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 2 & -3 \\ 1 & -2 \\ \end{array}^2}}=\frac{|4|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}=\frac{4}{\sqrt{6}}$.
