Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула
Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.

Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.

Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод

Рассмотрим методику нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ через координатный метод.

Прямая $L_1$ задана каноническими уравнениями $\frac{x-x_1}{l_1} =\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$, а прямая $L_2$ — $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$.

Прежде всего необходимо найти уравнение плоскости $β$, параллельной прямой $L_1$. Для этого необходимо найти векторное произведение направляющих векторов прямых $L_1$ и $L_2$, данное произведение представляет собой координаты нормального вектора плоскости $β$:

$[ \{l_1;m_1;n_1\} \cdot \{l_2;m_2;n_2\}]=\begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ l_1 & m_1 &n_1 \\ l_2 & m_2 &n_2 \\ \end{array}\left(1\right)$.

При вычислении выражения $(1)$ мы получим коэффициенты для общего уравнения плоскости $β$ — $A, B$ и $C$.

Для того чтобы записать всё общее выражение плоскости, подставим координаты любой точки, лежащей на $L_2$ в общую форму, например, можно подставить точку с координатами $(x_2;y_2; z_2)$, получим следующее:

$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.

Теперь достаточно выбрать любую точку на прямой $L_1$, пусть это будет точка $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$.

Расстояние от плоскости $β$ до точки $M_1$ составит:

$ρ=\frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$,

где $A, B, C$ и $D$ — коэффициенты уравнения плоскости $β$, а $(x_1;y_1; z_1)$ — координаты точки, лежащей на прямой $L_1$.

Замечание 1

Данная формула позволяет высчитать расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Пример 1

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$.

Уравнения прямых —

$L_1: \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{-1}$ $L_2: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{-2}; z-1=0$.

Найдём нормальный вектор плоскости, в которой лежит прямая $L_2$, для этого выпишем направляющие вектора для каждой из прямых:

$L_1: \vec{s_1}= \{2;-3;-1\}$, точка на этой прямой — $(2;-1;0)$

$L_2: \vec{s_2}= \{1;-2;0\}$, точка на этой прямой — $(-1;0;1)$

Теперь найдём векторное произведение векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$, полученный вектор является нормальным вектором плоскости, в которой лежит $L_2 $:

$[\vec{s_1}\cdot \vec{s_2}]= \begin{array}{|ccc|} i &j &k \\ 2 &-3 &-1 \\ 1 &-2 &0 \\ \end{array}=((-3) \cdot 0 -2) \cdot \vec{i} + (2 \cdot 0 + 1)\vec{j} + ((-4) + 3) \cdot \vec{k} = -2\vec{i} + \vec{j} -k = \{-2;1;-1\}$

Подставим координаты точки $(-1;0;1)$, принадлежащей прямой $L_2$, в общее уравнение плоскости:

$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$

Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:

$-2x+y-z+1=0$

Теперь, используя координаты точки $(2;-1;0)$, лежащей на первой прямой, можно воспользоваться формулой $(2)$ для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:

$ρ=\frac{|(-2) \cdot 2 + 1 \cdot(-1) + (-1) \cdot(0) + 1|}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{|(-4)+(-1)+1|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{4}{\sqrt{6}}$

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:

$ρ=\frac{\begin{array}{|ccc|} l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end{array}}{\sqrt{\begin{array}{|cc|} m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end{array}^2}}\left(3\right)$

Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.

Пример 2

Найти расстояние между вышеприведёнными прямыми с помощью формулы $(3)$.

Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:

$L_1$ имеет направляющий вектор $\{2; -3; -1\}$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(2; -1; 0)$.

$L_2$ имеет направляющий вектор $\{1; -2; 0 \}$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(-1; 0; 1)$.

Воспользуемся формулой $(3)$:

$ρ=\frac{\begin{array}{|ccc|} 2 & -3 &-1\\ 1 &-2 &0\\ (-1 -2) &(0+ 1) &(1-0) \\ \end{array}}{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -3 &-1 \\ -2 &0 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 2 & -1 \\ 1 &0 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 2 & -3 \\ 1 & -2 \\ \end{array}^2}}=\frac{|4|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}=\frac{4}{\sqrt{6}}$.