Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Центральные и вписанные углы

Все предметы / Математика / Окружность / Центральные и вписанные углы

Понятие вписанного и центрально угла

Введем сначала понятие центрального угла.

Определение 1

Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется центральным углом (рис. 1).

Центральный угол

Рисунок 1. Центральный угол

Замечание 1

Отметим, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Введем теперь понятие вписанного угла.

Определение 2

Угол, вершина которого лежит на окружности и стороны которого пересекают эту же окружность, называется вписанным углом (рис. 2).

Вписанный угол

Рисунок 2. Вписанный угол

Теорема о вписанном угле

Теорема 1

Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$. Обозначим вписанный угол $ACB$ (рис. 2). Возможны три следующих случая:

  • Луч $CO$ совпадает с какой либо стороной угла. Пусть это будет сторона $CB$ (рис. 3).



Рисунок 3.

В этом случае дуга $AB$ меньше ${180}^{{}^\circ }$, следовательно, центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$. Так как $AO=OC=r$, то треугольник $AOC$ равнобедренный. Значит, углы при основании $CAO$ и $ACO$ равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:

Готовые работы на аналогичную тему

  • Луч $CO$ делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке $D$ (рис. 4).



Рисунок 4.

Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим

Получаем

  • Луч $CO$ не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).



Рисунок 5.

Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим

Получаем

Теорема доказана.

Приведем следствия из данной теоремы.

Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.

Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр -- прямой.

Пример задачи на использование понятий центрально и вписанного углов

Пример 1

Найти градусные меры вписанных углов, изображенных на рисунке (рис.6).



Рисунок 6.

Решение.

  1. По теореме 1, имеем:

    \[\angle ABC=\frac{{120}^0}{2}={60}^0\]
  2. По теореме 1, имеем:

    \[\angle ABC=\frac{{90}^0}{2}={45}^0\]
  3. Из следствия 2 сразу получаем, что искомый угол -- прямой.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис