Понятие вписанного и центрально угла
Введем сначала понятие центрального угла.
Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется центральным углом (рис. 1).
Рисунок 1. Центральный угол
Отметим, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Введем теперь понятие вписанного угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности и стороны которого пересекают эту же окружность, называется вписанным углом (рис. 2).
Рисунок 2. Вписанный угол
Теорема о вписанном угле
Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$. Обозначим вписанный угол $ACB$ (рис. 2). Возможны три следующих случая:
- Луч $CO$ совпадает с какой либо стороной угла. Пусть это будет сторона $CB$ (рис. 3).
Рисунок 3.
В этом случае дуга $AB$ меньше ${180}^{{}^\circ }$, следовательно, центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$. Так как $AO=OC=r$, то треугольник $AOC$ равнобедренный. Значит, углы при основании $CAO$ и $ACO$ равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:
- Луч $CO$ делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке $D$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
- Луч $CO$ не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).
Рисунок 5.
Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
Теорема доказана.
Приведем следствия из данной теоремы.
Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.
Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр -- прямой.
Пример задачи на использование понятий центрально и вписанного углов
Найти градусные меры вписанных углов, изображенных на рисунке (рис.6).
Рисунок 6.
Решение.
-
По теореме 1, имеем:
\[\angle ABC=\frac{{120}^0}{2}={60}^0\] -
По теореме 1, имеем:
\[\angle ABC=\frac{{90}^0}{2}={45}^0\] -
Из следствия 2 сразу получаем, что искомый угол -- прямой.
