Часто возникающая на практике задача — это поиск расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Рассмотрим подробнее, как это делается.
Допустим, есть необходимость найти расстояние между двумя точками $A$ с координатами $(x_1;y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2; y_2)$. Соединим их отрезком $AB$ (рис. 1). Расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина этого отрезка.
Рисунок 1. Расстояние между точками на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры на ось абсцисс и ось ординат (рис. 2). На пересечении этих перпендикуляров отметим точку $C$. Получается прямоугольный треугольник $ABC$.
Рисунок 2. Перпендикуляры на оси Оx и Oy. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сторона $AC$ этого треугольника — это проекция $AB$ на ось абсцисс, соответственно, её длина представляет собой разность между координатами $x_2$ и $x_1$:
$AC=x_2-x_1$
Сторона $BC$ — это проекция $AB$ на ось ординат, соответственно, её длина равна разности между $y_2$ и $y_1$:
$BC=x_2-x_1$
Теперь вспомним теорему Пифагора:
$AB^2= AC^2 + BC^2$, выражаем $AB$:
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Так мы получили формулу вычисления расстояния между двумя точками, выпишем её отдельно:
$d= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\left(1\right)$
Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ с координатами и $(8; 8)$ $(10;13)$ соответственно.
Воспользуемся вышеприведённой формулой $(1)$ и подставим в неё координаты точек $A$ и $B$:
$d= \sqrt{(10-8)^2+(13-8)^2}=\sqrt{29}≈5,38$
