Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Параллельность прямых и плоскостей

Все предметы / Математика / Параллельность прямых и плоскостей

Пространственные системы координат

Положение произвольной точки $M$ в пространстве можно указать с помощью любой из трех пространственных систем координат: а) декартовой прямоугольной, б) цилиндрической, в) сферической.

Наиболее употребительной является декартова прямоугольная система координат. Она образуется пересечением трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей, которые делят пространство на восемь октантов. Три линии пересечения этих плоскостей называются осями координат и называются $x$, $y$ и $z$. Точка пересечения координатных осей называется началом координат $O$. Оси координат направлены так, что образуют правую тройку $"x\to y\to z\to x\to y"$. Это значит, что при наблюдении из конца первой оси (любой из трех) мы будем видеть поворот второй оси на угол $90{}^\circ $ до совмещения ее с третьей осью происходящим против часовой стрелки. При традиционном графическом изображении ось $z$ направлена вертикально вверх, ось $y$ -- горизонтально вправо, ось $x$ -- горизонтально "на нас''. На осях координат выбирают масштабы, то есть единичные отрезки (одинаковые или разные), чтобы численно обозначать расстояния вдоль осей.

Определение

Координатами точки $M$ называются ее расстояния от координатных плоскостей, взятые с надлежащим знаком.

Таким образом, запись $M\left(a,b,c\right)$ означает, что точка $M$ имеет координаты $x=a$, $y=b$ и $z=c$. Эти координаты называют также абсциссой, ординатой и аппликатой точки соответственно.

В цилиндрической системе координат пространственными координатами данной точки $M\left(a,b,c\right)$ являются три числа: $\rho =a$ и $\phi =b$ -- полярные координаты ее проекции на основную плоскость (полярный радиус и полярный угол), $z=c$ -- величина проекции точки на ось, перпендикулярную основной плоскости (аппликата).

Сферическую систему координат в пространстве образуют следующим образом. В некоторой основной плоскости фиксируют точку $O$, которую считают началом координат. Из точки $O$ проводят два луча: луч $Ox$, который лежит в основной плоскости, и луч $Oz$, перпендикулярный основной плоскости. Теперь положение любой точки $M\left(a,b,c\right)$ в пространстве может быть задано тремя следующими числами: $\rho =a$ -- расстояние точки от начала координат, то есть длина отрезка $OM$, $\theta =b$ -- зенитний угол, то есть угол между осью $Oz$ и отрезком $OM$, а также $\phi =c$ -- азимутальный угол, то есть угол между осью $Ox$ и проекцией отрезка $OM$ на основную плоскость. Указанные координаты сферической системы рассматриваются в следующих пределах: $\rho \ge 0$, $0\le \theta \le \pi $, $0\le \phi

Дополнительно заметим, что сферические координаты $\theta $ и $\phi $ неопределены математически и не имеют смысла физически при $\rho =0$ (точка находится в начале координат), а угол $\phi $ еще и при $\sin \theta =0$ (точка находится на оси $z$).

Система векторов в пространстве

Декартову прямоугольную систему координат в пространстве можно задать указанием ее начала $O$, а также трех единичных векторов (ортов) координатных осей, которые называются базисными, обозначаются $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ и направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Рассмотрим некоторый вектор $\overline{a}$, начало которого находится в точке $A\left(x_{a} ,\; y_{a} ,z_{a} \right)$, а конец -- в точке $B\left(x_{b} ,\; y_{b} ,z_{b} \right)$. При таких условиях проекции вектора $\overline{a}$ на оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ равняются разностям одноименных координат его конца и начала, то есть координатами вектора являются числа $x=x_{b} -x_{a} $, $y=y_{b} -y_{a} $ и $z=z_{b} -z_{a} $. При этом выражение $\overline{a}=x\cdot \overline{i}+y\cdot \overline{j}+z\cdot \overline{k}$ называется разложением вектора $\overline{a}$ по базису $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$.

Длина вектора $\overline{a}$ может быть вычислена по формуле $\left|\overline{a}\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } $. Если данный вектор умножить на число, обратное его длине, то будет получен орт $\overline{a_{0} }$ данного вектора $\overline{a}$, то есть $\overline{a_{0} }=\frac{1}{\left|\overline{a}\right|} \cdot \overline{a}$. Любой вектор можно представить в виде произведения его длины и его орта: $\overline{a}=\left|\overline{a}\right|\cdot \overline{a_{0} }$.

Пусть вектор $\overline{a}=x\cdot \overline{i}+y\cdot \overline{j}+z\cdot \overline{k}$ составляет с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ углы $\alpha $, $\beta $ и $\gamma $ соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора. Их можно вычислить по формулам $\cos \alpha =\frac{x}{\left|\overline{a}\right|} $, $\cos \beta =\frac{y}{\left|\overline{a}\right|} $ и $\cos \gamma =\frac{z}{\left|\overline{a}\right|} $. Направляющие косинусы данного вектора являются проекциями его орта на координатные оси, то есть $\overline{a_{0} }=\cos \alpha \cdot \overline{i}+\cos \beta \cdot \overline{j}+\cos \gamma \cdot \overline{k}$. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равняется единице.

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ является уравнением первой степени (линейным) относительно пространственных координат $x,\; y,\; z$. Вектор $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$ является вектором, перпендикулярным этой плоскости. Его координаты совпадают с коэффициентами общего уравнения плоскости.

Опустим на плоскость $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ перпендикуляр $OP$ из начала координат. Этот перпендикуляр называется нормалью плоскости. Пусть известны длина нормали $p\ge 0$ и направляющие углы $\alpha $, $\beta $, $\gamma $, которые она образует с осями $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Уравнение $x\cdot \cos \alpha +y\cdot \cos \beta +z\cdot \cos \gamma -p=0$ называется нормальным уравнением плоскости. Основные требования к нему заключаются в том, чтобы, во-первых, сумма квадратов коэффициентов при координатах равнялась единице, а во-вторых, чтобы свободный член был отрицательным.

Пусть плоскость не проходит через начало координат и отсекает на координатных осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ отрезки $a$, $b$ и $c$. Уравнение $\frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1$ является уравнением плоскости в отрезках.

Прямая линия в пространстве

Положение прямой $L$ в пространстве можно определить однозначно, если задать точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$, через которую она проходит, а также направляющий вектор $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$. Уравнения $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $ называются каноническими уравнениями прямой.

Используем обозначения: $\frac{x-x_{0} }{m} =t$, $\frac{y-y_{0} }{n} =t$, $\frac{z-z_{0} }{p} =t$. Здесь $t$ -- параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Прямую линию в пространстве можно определить также как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$. Уравнения этих плоскостей называются общими уравнениями прямой.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Пусть в пространстве заданы две прямых $L_{1} $ и $L_{2} $, а именно: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $.
  2. Условие параллельности этих прямых имеет вид: $\frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{n_{1} }{n_{2} } =\frac{p_{1} }{p_{2} } $.

    Выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

  3. Пусть даны плоскости $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$.
  4. Условие параллельности этих двух плоскостей: $\frac{A_{1} }{A_{2} } =\frac{B_{1} }{B_{2} } =\frac{C_{1} }{C_{2} } $.

  5. Пусть плоскость $P$ задана общим уравнением $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$, а прямая $L$ задана параметрическими уравнениями $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$.
  6. В этом случае условие параллельности прямой и плоскости имеет вид $A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p=0$.

Частным случаем параллельности прямой и плоскости является принадлежность прямой плоскости.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис