Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение параллельных прямых в пространстве

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Геометрия / Определение параллельных прямых в пространстве
Определение параллельных прямых в пространстве

Определение двух параллельных прямых в пространстве

Определение 1

Две прямые $a$ и $b$ считаются параллельными в объёмном мире тогда и только тогда, если обе они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В реальном мире параллельными между собой будут две противоположные прямые на гранях квадратного или прямоугольного стола, 2 железнодорожные шпалы, линии в тетради по русскому языку, линии проводов электропередачи, лежащие друг напротив друга в одной плоскости линии пола и оконных карнизов.

Другие варианты расположения прямых в 3D - это когда они скрещиваются (то есть не пересекаются и лежат в непересекающихся плоскостях), и пересекаются друг с дружкой.

Существует несколько разнообразных теорем, которые чаще всего используются при рассмотрении параллельных прямых в объёмном мире и которые было бы полезно знать.

Признак параллельности двух прямых в пространстве

Теорема 1

Две прямые параллельны друг дружке в объёмном мире, если они ортогональны по отношению к одной и той же плоскости.

Теорема 2

Через точку в евклидовом пространстве, не возлежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, причём вариант для проведения такой линии возможен только один.

Пример 1

Докажем данную теорему.

Для этого через прямую $a$ и не возлежащую на ней точку $M$ проведём плоскость, причём она однозначно определяется нашей прямой линией $a$ и точкой $M$ и, соответственно, довольно однозначно определена.

Как доказать параллельность прямых в пространстве

Рисунок 1. Как доказать параллельность прямых в пространстве

А теперь, для того чтобы доказать теорему, воспользуемся евклидовой аксиомой из планиметрии о параллельных прямых, на всякий случай мы разместим её ниже после доказательственного рассуждения.

Таким образом, через точку $M$ возможно проложить только одну прямую линию, параллельную прямой $a$ и существование такой прямой доказано (назовём новую прямую линию буквой $b$).

Определение 2

Через любую точку на плоскости, не возлежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую.

Свойства параллельных прямых в пространстве

  1. Первое уже было изложено нами выше: через любую точку в пространстве, не возлежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это довольно простая и интуитивно понятная теорема.
  2. Если одна из двух прямых параллельна некой третьей прямой, то и вторая прямая линия также будет параллельна третьей прямой линии.
  3. Если одна из двух прямых, про которые известно, что они параллельны, проходит насквозь через некую плоскость, то и вторая прямая также проходит эту плоскость. Данное свойство иногда также называют леммой о параллельных прямых в пространстве, она используется при работе над обоснованием некоторых других теоретических положений.
  4. Имея 2 прямые, параллельные между собой, можно изобразить плоскость, причём она будет однозначно задана.
Пример 2

Осуществим доказательство теоремы о параллельных прямых в пространстве, в нашем списке свойств она под номером 3, также её называют леммой о параллельных прямых.

Две параллельных прямых, пересекающих плоскость

Рисунок 2. Две параллельных прямых, пересекающих плоскость

Пусть прямая $b$ проходит насквозь некую плоскость $α$ в геометрической точке $M$, при этом прямые линии $a$ и $b$, как уже обсуждалось нами в свойстве 4, образуют плоскость $β$.

Доказательство леммы о параллельных прямых в пространстве

Рисунок 3. Доказательство леммы о параллельных прямых в пространстве

Так как точка $M$ является общей и для плоскости $α$, и для плоскости $β$, то две эти плоскости пересекаются, а местом их пересечения соответственно аксиоме о пересекающихся плоскостях будет прямая линия $c$, на которой лежит $M$.

Все проведённые прямые $a, b$ и $с$ лежат в одной плоскости $β$.

Воспользуемся аксиомой планиметрии, согласно которой если одна из параллельных прямых пересекает другую, то и вторая линия будет взаимодействовать с этой новой прямой линией таким же образом.

На данном рисунке прямая $a$ будет пересекать прямую $c$ в точке $K$.

Точка $K$ возлежит одновременно и в плоскости $α$, и на прямой $a$, и она является единственным их общим геометрическим объектом, следовательно, прямая $a$ также пересекает плоскость $α$.

Пример 3

Рассмотрим для примера ещё одну задачу.

Даны прямые $g$ и $m$, заданные следующими уравнениями. Определить, являются ли они параллельными.

$g$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3}= \frac{z+1}{-2}$

$m$: $\begin{cases} x – y – z + 1 = 0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \end{cases}$

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы $s_1$ и $s_2$ коллинеарны, а следовательно, для их координат должны выполняться следующие равенства:

$\frac{x_1}{x_2} =\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$

Найдём направляющие вектора. Для прямой $g$ направляющий вектор можно найти по каноническим уравнениям, он будет равен $\{1; 3; -2 \}$.

Для прямой $m$ направляющий вектор вычисляется через произведение нормальных векторов плоскостей, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1×n_2 = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} = -i-3j + 2k$,

то есть $s_2 = \{-1;-3; 2\}$

$s_1=-s_2$

Так как условие, обозначенное выше, соблюдается, то прямые параллельны или совпадают. Теперь определим, не являются ли они совпадающими.

Для этого возьмём произвольную точку $М$ с координатами (1;2;-1), принадлежащую прямой $g$, и подставим её координаты в уравнения для второй прямой.

В первом уравнении получается, что 1=0, равенство не выполняется. Это значит, что точка $М$ не принадлежит прямой $m$ и, следовательно, прямые не совпадают.