Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Стереометрия

Предмет стереометрии

Определение

Стереометрия -- раздел геометрии, изучающий свойства пространственных фигур.

К основным из них относятся -- точка, прямая и плоскость. Точка и прямая известны из планиметрии.

Например, поверхность стола дает представление о части плоскости.

В геометрии считают, что плоскость ровная и неограниченная, не имеет краев и толщины.

На рисунках часть плоскости чаще всего изображают в виде произвольной замкнутой фигуры и обозначают буквами греческого алфавита $\alpha ,\; \beta ,\; \gamma ,\; \ldots $ и т.д.

Стереометрия

Примеры других популярных фигур стереометрии:

Стереометрия

Аксиомы стереометрии

В стереометрии справедливы все аксиомы планиметрии, а именно:

  1. все точки или принадлежат данной прямой, или не принадлежат ей;
  2. через любые $2$-е точки можно провести $1$-ну прямую;
  3. только одна из $3$-х точек на прямой может лежать между $2$-мя другими;
  4. длина любого отрезка прямой отлична от нуля;
  5. длина отрезка складывается из длин частей, на которые он делится любой его точкой;
  6. любой угол имеет определенную меру, отличную от нуля;
  7. мера угла складывается из мер углов, на которые он делится любым лучем, проходящим между его сторонами;
  8. аксиома Эвклида -- через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Дополнительные аксиомы стереометрии

Аксиома 1

Все точки или принадлежат данной плоскости, или не принадлежат ей. На рисунке точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha $ (плоскость $\alpha $ проходит через эти точки), а точки $C$ и $D$ -- не принадлежат.

Стереометрия

Аксиома 2

Все точки прямой принадлежат плоскости, если этой плоскости принадлежат любые $2$-е её точки. На рисунке точки $A$ и $B$ прямой $s$ принадлежат плоскости $\alpha $, поэтому и прямая $s$, которой принадлежат эти точки, также принадлежат плоскости $\alpha $.

Стереометрия

Стереометрия

На рисунках ниже представлены два случая, когда прямая $s$ не принадлежит плоскости.

Аксиома 3

Две плоскости пересекаются по прямой, которая проходит через общую точку этих плоскостей.

Стереометрия

Готовые работы на аналогичную тему

На рисунке плоскости $\alpha $ и $\beta $ имеют общую точку R, то есть точка R принадлежит как плоскости $\alpha $, так и плоскости $\beta $. Точка R принадлежит также прямой $s$. Значит, плоскости $\alpha $ и $\beta $ пересекаются по прямой $s$.

Аксиома 4

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Иначе говоря, любые три точки в пространстве всегда лежат в одной плоскости.

Стереометрия

На рисунке точки M, N и K не лежат на $1$-ной прямой. Поэтому существует единственная плоскость $\alpha $, которой принадлежат все эти точки.

Следствия из аксиом стереометрии.

Следствие 1

Через прямую $s$ и точку T, не лежащую на ней, можно провести $1$-ну плоскость $\alpha $.

Стереометрия

Следствие 2

Через $2$-е пересекающиеся прямые p и q можно провести $1$-ну плоскость $\alpha $.

Стереометрия

Следствие 3

Плоскость можно задать а) $3$-мя точками, не лежащими на $1$-ной прямой, б) прямой и точкой, не лежащей на ней, в) $2$-мя пересекающимися прямыми, г) $2$-мя параллельными прямыми.

Следствие 4

Возможны три случая взаимного расположения прямых в пространстве:

  1. пересекающиеся прямые лежат в $1$-ной плоскости и имеют общую точку;
  2. Стереометрия

  3. параллельные прямые лежат в $1$-ной плоскости и не имеют общих точек;
  4. Стереометрия

  5. скрещивающиеся прямые AB и CD -- не лежащие в $1$-ной плоскости.
  6. Стереометрия

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис