Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Взаимное расположение прямых в пространстве

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Параллельность прямых и плоскостей / Взаимное расположение прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве

Разновидности уравнений прямой

Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$, которому она параллельна. Уравнения $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p}$ называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $\frac{x-x_{0} }{m} =t$, $\frac{y-y_{0} }{n} =t$, $\frac{z-z_{0} }{p} =t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$. Уравнения $\frac{x-x_{1} }{x_{2} -x_{1} } =\frac{y-y_{1} }{y_{2} -y_{1} } =\frac{z-z_{1} }{z_{2} -z_{1} } $, аналогичные каноническим, называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.

Переход между различными видами уравнений прямой

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.

От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{z-z_{0} }{p} $ и $\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $ и выполним преобразования.

Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_{0} +m\cdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_{0} +n\cdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:

  • Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
  • Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
  • Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.
Замечание 1

Вне зависимости от того, являются ли прямые пересекающимися или скрещивающимися, можно говорить об угле между ними.

Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.

Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые $L_{1} $ и $L_{2} $: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательные прямые, параллельные данным.

Углом между прямыми $L_{1} $ и $L_{2} $ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.

Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline{R_{1} }=m_{1} \cdot \overline{i}+n_{1} \cdot \overline{j}+p_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{R_{2} }=m_{2} \cdot \overline{i}+n_{2} \cdot \overline{j}+p_{2} \cdot \overline{k}$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $\cos \phi =\frac{m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} }{\sqrt{m_{1}^{2} +n_{1}^{2} +p_{1}^{2} } \cdot \sqrt{m_{2}^{2} +n_{2}^{2} +p_{2}^{2} } } $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi$

Равенство $\cos \phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} =0$.

Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $\frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{n_{1} }{n_{2} } =\frac{p_{1} }{p_{2} }$.

Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.

Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_{1} $ проходит через точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$, а прямая $L_{2} $ — через точку $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$.

Рассмотрим вектор $\overline{M_{1} M_{2} }=\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot \overline{i}+\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot \overline{j}+\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot \overline{k}$, который соединяет эти точки, а также направляющие векторы $\overline{R_{1} }=m_{1} \cdot \overline{i}+n_{1} \cdot \overline{j}+p_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{R_{2} }=m_{2} \cdot \overline{i}+n_{2} \cdot \overline{j}+p_{2} \cdot \overline{k}$ прямых $L_{1} $ и $L_{2} $.

Если прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $\overline{M_{1} M_{2} }$. Направляющий вектор $\overline{R_{1} }$ коллинеарен прямой $L_{1} $, а направляющий вектор $\overline{R_{2} }$ коллинеарен прямой $L_{2} $. Итак, все три вектора $\overline{M_{1} M_{2} }$, $\overline{R_{1} }$ и $\overline{R_{2} }$ лежат в параллельных плоскостях, то есть они компланарны. Запишем условие компланарности векторов $\left|\begin{array}{ccc} {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {m_{1} } & {n_{1} } & {p_{1} } \\ {m_{2} } & {n_{2} } & {p_{2} } \end{array}\right|=0$ и получим условие пересечения двух прямых, если же это условия не выполняется, то это скрещенные прямые в пространстве.

Пример 1

Задание: Выяснить взаимное расположение прямых в пространстве:

$L_1: \frac{x – 1}{1} = \frac{y – 2}{3}=\frac{z+1}{-2}$

$L_2: \begin{cases} x-y-z+1 =0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \\ \end{cases}$

Решение: Направляющий вектор первой прямой определяем по её уравнениям, он будет выглядеть как $s_1 = \{1;3;-2\}$.

Направляющий же вектор второй прямой определим через векторное произведение нормальных векторов, определяющих плоскости, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1 × n_1 = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} = - i – 3j + 2k$

В данном примере $s_1 = -s_2$, а это значит, что прямые либо параллельные, либо совпадающие.

Чтобы понять, с каким из случаев мы имеем дело, возьмём точку $M_0$с координатами $(1;2;-1)$, принадлежащую первой прямой и подставим в уравнения для второй.

В первом из них равенство не соблюдается и получается, что $1=0$. Это значит, что рассмотренная точка не лежит на второй прямой и прямые параллельны между собой.

Пример 2

Задание: провести плоскости через параллельные прямые и через прямые, которые пересекаются.

Решение каждой из этих задач начинается с того, что на нужной плоскости $P$ выбирается некоторая переменная точка $M\left(x,y,z\right)$.

Если данные прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ — параллельны, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {m} & {n} & {p} \end{array}\right|=0$ следующих трех векторов:

  1. $\overline{M_{1} M}=\left(x-x_{1} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{1} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{1} \right)\cdot \overline{k}$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$, принадлежещей прямой $L_{1} $, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
  2. $\overline{M_{1} M_{2} }=\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot \overline{i}+\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot \overline{j}+\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot \overline{k}$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$, которая принадлежит прямой $L_{1} $, с точкой $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$, которая принадлежит прямой $L_{2} $.
  3. $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$ — направляющий вектор одной из двух параллельных прямых, параллельный плоскости $P$.

Если данные прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ — пересекаются, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {y-y_{1} } & {z-z_{1} } \\ {m_{1} } & {m_{2} } & {m_{3} } \\ {m_{2} } & {n_{2} } & {p_{2} } \end{array}\right|=0$ следующих трех векторов:

  1. $\overline{M_{1} M}=\left(x-x_{1} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{1} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{1} \right)\cdot \overline{k}$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$, принадлежащую прямой $L_{1} $, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
  2. $\overline{R_{1} }=m_{1} \cdot \overline{i}+n_{1} \cdot \overline{j}+p_{1} \cdot \overline{k}$ — направляющий вектор прямой $L_{1} $, параллельный плоскости $P$.
  3. $\overline{R_{2} }=m_{2} \cdot \overline{i}+n_{2} \cdot \overline{j}+p_{2} \cdot \overline{k}$ — направляющий вектор прямой $L_{2} $, параллельный плоскости $P$.