Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Начальные сведения из стереометрии

Все предметы / Математика / Начальные сведения из стереометрии
Содержание статьи

Предмет стереометрии

Определение 1

Стереометрия - один из разделов геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры и их свойства. Слово стереометрия образовано из двух греческих слов $\sigma $$\tau $$\varepsilon $$\rho $$\varepsilon $$o$$\varsigma $ -- «объемный» и $\mu $$\varepsilon $$\tau $$\rho $$\varepsilon$$\omega $ -- «измерять».

Основными объектами изучения в стереометрии являются геометрические тела и поверхности.

Определение 2

Геометрическое тело -- это фигура в пространстве, которая является ограниченной, связной и содержит все свои граничные точки.

Определение 3

Граница геометрического тела называется поверхностью этого геометрического тела.

Основными объектами изучения являются многогранники и поверхности вращения.

Определение 4

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примерами многогранников могут быть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и другие (рис. 1).

Примеры многогранников

Рисунок 1. Примеры многогранников

Определение 5

Поверхность, которая образуется путем вращения какой-либо произвольной линии вокруг прямой, называется поверхностью вращения.

При этом, прямая, вокруг которой вращается поверхность, называется осью вращения и является осью симметрии для полученной поверхности.

Примерами поверхностей вращения могут быть цилиндр, конус, шар и другие (рис. 2).

Примеры поверхностей вращения

Рисунок 2. Примеры поверхностей вращения

Аксиомы стереометрии

Основными и неопределяемыми объектами в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Приведем теперь аксиомы стереометрии. Они делятся на

Готовые работы на аналогичную тему

Первая группа аксиом -- аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Каждая прямая и плоскость содержит в себе какие-либо точки.

  2. Можно найти как минимум три точки, которые не принадлежат одной прямой и как минимум четыре точки, которые не принадлежат одной плоскости.

  3. Через любые две точки можно построить единственную прямую.

  4. Через любые три точки можно построить единственную плоскость.

  5. Если плоскости принадлежат две точки какой-либо прямой, то вся эта прямая лежит в данной плоскости.

  6. Если точка принадлежит двум различным плоскостям, то эти плоскости имею общую прямую, которой принадлежат все их общие точки.

  7. Для любых двух точек прямой, существует третья точка прямой, лежащая между первыми двумя.

  8. Любую прямую можно разделить на два луча точкой $A$, лежащей на этой прямой. При этом точки, лежащие на одном луче, находятся с одной стороны от точки $A$, а точки, лежащие на разных лучах -- по разные стороны от точки $A$.

  9. Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$.

  10. Любое пространство можно разделить на два полупространства плоскостью $\alpha $, принадлежащей в этому пространству. При этом, точки, лежащие в одном полупространстве находятся с одной стороны от плоскости $\alpha $, а точки, лежащие в разных полупространствах -- по разные стороны от плоскости $\alpha $.

Вторая группа аксиом связана с равенством фигур.

  1. Если при наложении концы одного отрезка отображаются на концы другого отрезка, то эти отрезки совпадут.

  2. От начала любого луча можно отложить единственный равный какому-либо отрезку отрезок.

  3. В полуплоскость всегда можно отложить единственный неразвернутый угол, равный какому-либо неразвернутому углу, от любого луча этой плоскости.

  4. Любая фигура при наложении совпадает сама с собой.

  5. Равенство фигур обладает свойством симметричности.

  6. Равенство фигур обладает свойство транзитивности.

Третья группа аксиом связана с измерением отрезков.

  1. Длина любого отрезка -- положительное действительное число.

  2. Для любого действительного положительного числа существует отрезок, имеющий такую длину.

Последняя аксиома - аксиома параллельности.

  1. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную параллельную данной прямой прямую в любой плоскости пространства.

Примеры задач

Рассмотрим две задачи на использование аксиом стереометрии, которые считаются следствиями из этих аксиом.

Пример 1

Докажите, что через прямую и точку, не принадлежащую ей можно провести единственную плоскость.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3.



Рисунок 3.

Возьмем две произвольные точки $A\ и\ B$ на данной прямой. Так как точки $A,B$ и $C$ не лежат на одной прямой, то по аксиоме 4 через них можно провести единственную плоскость $\alpha $. Так как точки $A\ и\ B$ принадлежат и прямой, и плоскости $\alpha $, то данная прямая содержится в плоскости $\alpha .$

ч. т. д.

Пример 2

Докажите, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 4.



Рисунок 4.

Пусть прямые пересекаются в точке $C$. Построим точку $A$ на прямой $a$, отличную от $C$. Используя задачу 1, мы можем провести единственную плоскость $\alpha $ через прямую $b$ и точку $A$. Так как плоскость $\alpha $ содержит в себе две точки прямой $a$, то по аксиоме 5 она содержит всю эту прямую.

ч. т. д.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис