Справочник от Автор24
Найди автора для помощи в учебе
Найти автора
+2

Тела и поверхности вращения

Понятие о геометрическом теле

Перед тем как ввести определение геометрического тела, введем следующие несколько вводных понятий.

Определение 1

Точка называется граничной для какой-либо фигуры, если близкие к ней точки как содержатся в фигуре, так и не содержатся в ней.

Определение 2

Границей какой-либо фигуры называется совокупность всех граничных точек для этой фигуры.

Определение 3

Точка называется внутренней для какой-либо фигуры, если она принадлежит этой фигуре, но при этом не является граничной для нее.

Определение 4

Фигура называется ограниченной, если ей можно вписать в какую-либо сферу пространства.

Определение 5

Фигура называется связной, если любые точки, принадлежащие этой фигуре, могут быть соединены какой-либо непрерывной линией, не выходящей за границы этой фигуры.

Введем теперь, наконец-то, непосредственно определение геометрического тела.

Определение 6

Геометрическое тело -- это фигура в пространстве, которая является ограниченной, связной и содержит все свои граничные точки.

Граница геометрического тела называется поверхностью этого геометрического тела.

Примерами геометрического тела могут служить многогранники и тела вращения. [/Определение]

Определение 7

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примерами многогранников могут быть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и другие (рис. 1).

Примеры многогранников

Рисунок 1. Примеры многогранников

«Тела и поверхности вращения» 👇
Помощь автора по теме работы
Найти автора
Скидки на первый заказ
Все промокоды
Собрали более 72 000 авторов учебных работ
Найти автора

Далее подробно рассмотрим тела вращения.

Поверхности вращения

Понятие тела вращения.

Определение 8

Поверхность, которая образуется путем вращения какой-либо произвольной линии вокруг прямой, называется поверхностью вращения.

При этом, прямая, вокруг которой вращается поверхность называется ос вращения и является осью симметрии для полученной поверхности.

Примерами поверхностей вращения могут быть цилиндр, конус, шар и другие (рис. 2).

Примеры поверхностей вращения

Рисунок 2. Примеры поверхностей вращения

Рассмотрим теперь тела вращения более подробно. Здесь мы не будем вдаваться в доказательства различных теорем.

Цилиндр.

Определение 9

Геометрическая фигура, образованная путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется цилиндром (рис. 3).

Цилиндр

Рисунок 3. Цилиндр

Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Площадь боковой поверхности цилиндра определяется как произведение длины окружности, ограничивающей основание цилиндра на его высоту, то есть

\[S_{бок}=2\pi rh\]
Теорема 2

Объем цилиндра определяется как произведение площади основания цилиндра на его высоту, то есть

\[V=\pi r^2h\]

Конус.

Определение 10

Геометрическая фигура, образованная вращение прямоугольного треугольника вокруг своего катета, называется конусом (рис. 4).

Конус

Рисунок 4. Конус

Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Теорема 3

Площадь боковой поверхности конуса определяется как половина произведения длины окружности, ограничивающей основание конуса на его образующую, то есть

\[S_{бок}=\pi lR\]

Сфера.

Определение 11

Геометрическая фигура, образованная путем вращения полуокружности вокруг диаметра, называется сферой (рис. 5).



Рисунок 5.

Площадь сферы определяется следующей формулой:

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь полной поверхности цилиндра и его объем, если радиус его основания равняется $7$ см, а высота в два раза больше диаметра основания.

Решение.

Найдем вначале высоту цилиндра. Так как высота в два раза больше диаметра, получим

\[h=2\cdot 2r=4r=28\ см\]

Как мы знаем

\[S_{осн}=\pi r^2=49\pi \]

По теореме 1

\[S_{бок}=2\pi rh=392\pi \]

Тогда

\[S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}=392\pi +98\pi =490\pi \]

По теореме 2

\[V=\pi r^2h=49\pi \cdot 28=1372\pi \]

Ответ: $490\pi ,\ 1372\pi $

Дата последнего обновления статьи: 19.04.2025
Не знаешь, как приступить к заданию?
За 5 минут найдем эксперта и проконсультируем по заданию. Переходи в бота и получи скидку 500 ₽ на первый заказ.
Запустить бота
Нужна помощь с заданием?

Эксперт возьмёт заказ за 5 мин, 400 000 проверенных авторов помогут сдать работу в срок. Гарантия 20 дней, поможем начать и проконсультируем в Telegram-боте Автор24.

Перейти в Telegram Bot