Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Тела и поверхности вращения

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Тела и поверхности вращения

Понятие о геометрическом теле

Перед тем как ввести определение геометрического тела, введем следующие несколько вводных понятий.

Определение 1

Точка называется граничной для какой-либо фигуры, если близкие к ней точки как содержатся в фигуре, так и не содержатся в ней.

Определение 2

Границей какой-либо фигуры называется совокупность всех граничных точек для этой фигуры.

Определение 3

Точка называется внутренней для какой-либо фигуры, если она принадлежит этой фигуре, но при этом не является граничной для нее.

Определение 4

Фигура называется ограниченной, если ей можно вписать в какую-либо сферу пространства.

Определение 5

Фигура называется связной, если любые точки, принадлежащие этой фигуре, могут быть соединены какой-либо непрерывной линией, не выходящей за границы этой фигуры.

Введем теперь, наконец-то, непосредственно определение геометрического тела.

Определение 6

Геометрическое тело -- это фигура в пространстве, которая является ограниченной, связной и содержит все свои граничные точки.

Граница геометрического тела называется поверхностью этого геометрического тела.

Примерами геометрического тела могут служить многогранники и тела вращения. [/Определение]

Определение 7

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примерами многогранников могут быть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и другие (рис. 1).

Примеры многогранников

Рисунок 1. Примеры многогранников

Далее подробно рассмотрим тела вращения.

Поверхности вращения

Понятие тела вращения.

Определение 8

Поверхность, которая образуется путем вращения какой-либо произвольной линии вокруг прямой, называется поверхностью вращения.

При этом, прямая, вокруг которой вращается поверхность называется ос вращения и является осью симметрии для полученной поверхности.

Примерами поверхностей вращения могут быть цилиндр, конус, шар и другие (рис. 2).

Примеры поверхностей вращения

Рисунок 2. Примеры поверхностей вращения

Рассмотрим теперь тела вращения более подробно. Здесь мы не будем вдаваться в доказательства различных теорем.

Цилиндр.

Определение 9

Геометрическая фигура, образованная путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется цилиндром (рис. 3).

Цилиндр

Рисунок 3. Цилиндр

Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Теорема 1

Площадь боковой поверхности цилиндра определяется как произведение длины окружности, ограничивающей основание цилиндра на его высоту, то есть

\[S_{бок}=2\pi rh\]
Теорема 2

Объем цилиндра определяется как произведение площади основания цилиндра на его высоту, то есть

\[V=\pi r^2h\]

Конус.

Определение 10

Геометрическая фигура, образованная вращение прямоугольного треугольника вокруг своего катета, называется конусом (рис. 4).

Конус

Рисунок 4. Конус

Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Теорема 3

Площадь боковой поверхности конуса определяется как половина произведения длины окружности, ограничивающей основание конуса на его образующую, то есть

\[S_{бок}=\pi lR\]

Сфера.

Определение 11

Геометрическая фигура, образованная путем вращения полуокружности вокруг диаметра, называется сферой (рис. 5).



Рисунок 5.

Площадь сферы определяется следующей формулой:

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь полной поверхности цилиндра и его объем, если радиус его основания равняется $7$ см, а высота в два раза больше диаметра основания.

Решение.

Найдем вначале высоту цилиндра. Так как высота в два раза больше диаметра, получим

\[h=2\cdot 2r=4r=28\ см\]

Как мы знаем

\[S_{осн}=\pi r^2=49\pi \]

По теореме 1

\[S_{бок}=2\pi rh=392\pi \]

Тогда

\[S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}=392\pi +98\pi =490\pi \]

По теореме 2

\[V=\pi r^2h=49\pi \cdot 28=1372\pi \]

Ответ: $490\pi ,\ 1372\pi $