Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Параллельный перенос

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Движение / Параллельный перенос

В данной статье мы будем рассматривать понятие параллельного переноса в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Определение 1

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Определение 2

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Помощь со студенческой работой на тему
Параллельный перенос

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

Теорема 1

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

Теорема 3

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Основными примерами движений в геометрии являются осевая симметрия, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот и параллельный перенос. Доказательство того, что параллельный перенос действительно является движением, нами будет рассмотрено ниже.

Параллельный перенос

Введем теперь, непосредственно, понятие параллельного переноса на какой-либо вектор. Пусть нам дан вектор $\overline{α}$.

Определение 3

Параллельным переносом на вектор $\overline{α}$ будем называть такое отображение плоскости само на себя, при котором произвольная точка $M$ отображается на такую точку $M_1$, что выполняется равенство $\overline{MM_1}=\overline{α}$ (Рис. 2).

Введем следующую теорему, связанную с понятием параллельного переноса.

Теорема 4

Параллельный перенос - движение.

Доказательство.

Рассмотрим в пространстве две произвольные точки $M$ и $N$. Будем рассматривать параллельный перенос на данный нам вектор $\overline{α}$. Пусть при нашем параллельном переносе данные нам точки отображаются, соответственно, в точки $M_1$ и $N_1$ (рис. 3).

Из определения 3 параллельного переноса получим, что $\overline{MM_1}=\overline{a}$, а $\overline{NN_1 }=\overline{a}$, следовательно, получим, что $\overline{MM_1}=\overline{NN_1}$.

Тогда, из определения равных векторов будем получать, что

$|MM_1|=|NN_1|$, $MM_1||NN_1$

Получаем, что четырехугольник $MM_1N_1N$ будет являться параллелограммом и, как следствие, верно равенство: $|MN|=|M_1N_1|$. Отсюда получаем, что параллельный перенос будет сохранять расстояния, что и доказывает нашу теорему.

Пример задачи

Пример 1

Постройте параллельный перенос куба на вектор $\overline{h}$, изображенных на рисунке 4.

Решение.

Для построения параллельного переноса сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, параллельные заданному нам вектору $\overline{h}$ (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $X$ перейдет в такую точку $X_1$, которая будет принадлежать прямой $x$. Точка $Y$ перейдет в такую точку $Y_1$, которая будет принадлежать прямой $y$. Точка $Z$ перейдет в такую точку $Z_1$, которая будет принадлежать прямой $z$. Точка $O$ перейдет в такую точку $O_1$, которая будет принадлежать прямой $o$. Точка $X'$ перейдет в такую точку $X'_1$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $Y'$ перейдет в такую точку $Y'_1$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $Z'$ перейдет в такую точку $Z'_1$, которая будет принадлежать прямой $c$. Точка $O'$ перейдет в такую точку $O'_1$, которая будет принадлежать прямой $o'$. Причем будут выполняться равенства:

$\overline{XX_1}=\overline{h}$, $\overline{YY_1}=\overline{h}$, $\overline{ZZ_1}=\overline{h}$, $\overline{OO_1}=\overline{h}$, $\overline{X'X'_1}=\overline{h}$, $\overline{Y'Y'_1}=\overline{h}$, $\overline{Z'Z'_1}=\overline{h}$, $\overline{O'O'_1}=\overline{h}$

Отметим эти точки (рис. 6).

Соединив эти точки между собой, мы и получим искомый нами параллельный перенос на вектор $\overline{h}$ (рис. 7).

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис