Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Зеркальная симметрия

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Движение / Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия

В данной статье мы будем рассматривать понятие зеркальной симметрии в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Определение 1

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Определение 2

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

Теорема 1

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

Теорема 3

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Зеркальная симметрия

Перед тем, как определить понятие зеркальной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно какой-либо плоскости.

Определение 3

Точки $P$ и $P'$ будем называть симметричными относительно какой-либо плоскости $a$, если прямая $(PP')$ будет перпендикулярна плоскости $a$ и, при этом, плоскость $a$ будет делить отрезок $[PP']$ пополам (рис. 2).

Определение 4

Зеркальной симметрией фигуры относительно плоскости будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно этой плоскости каждой точке начальной фигуры.

Введем следующую теорему:

Теорема 4

Зеркальная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть нам даны две точки $Z$ и $Z'$ – симметричные относительно плоскости $l$. Построит систему координат $O_{xyz}$, где плоскость $Oxy$ – это плоскость $l$. Пусть точка $Z$ в этой системе координат имеет координаты $(α,β,γ)$, а точка $Z'$ имеет координаты $(α',β',γ')$. Так как эти точки симметричны относительно плоскости $Oxy$, то эта плоскость будет делить отрезок $[ZZ']$ пополам, то есть

$\frac{γ+γ'}{2}=0$

следовательно

$γ=-γ'$

Так как плоскость $Oxy$ совпадает с нашей плоскостью симметрии, то $α=α'$, $β=β'$.

Возьмем две произвольные точки $X$ и $Y$ с координатами $(α_1,β_1,γ_1)$ и $(α_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно

$d=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}$

По формулам выше, получим, что симметричные им точки $X'$ и $Y'$ имеют координаты $(α_1,β_1,-γ_1)$ и $(α_2,β_2,-γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно

$d'=\sqrt{(α_1-α_2 )^2+(β_1-β_2 )^2+(-γ_1+γ_2 )^2}=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}=d$

То есть зеркальная симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.

С понятием зеркальной симметрии также связано понятие симметричной фигуры:

Определение 5

Фигуру будем называть симметричной относительно какого-либо своего сечения, если при такой зеркальной симметрии фигура перейдет в себя (рис. 3).

Пример задачи

Пример 1

Постройте зеркальную симметрию тетраэдра, относительно плоскости $l$, изображенных на рисунке 4.

Решение.

Для построения такой зеркальной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к плоскости $l$ (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B'$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $C$ перейдет в такую точку $C'$, которая будет принадлежать прямой $c$. Аналогично, и точка $D$ перейдет в такую точку $D'$, которая будет принадлежать прямой $d$. Причем, при этом первоначальная плоскость $l$ делит отрезки $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$, $[DD']$ пополам.

Таким образом, зеркальная симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.