Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти векторное произведение векторов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Геометрия / Векторы / Как найти векторное произведение векторов
Как найти векторное произведение векторов

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них нулевой, то угол между этими векторами будет равен $0^\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

  1. $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
  2. $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
  3. $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Произведение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Произведение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:

  1. Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
  2. Если угол между этими векторами будет равняться $180^\circ$ или $0^\circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).

Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.

Пример 1

Найти длину вектора $\overline{δ}$, который будет являться результатом векторного произведения векторов, с координатами $\overline{α}=(0,4,0)$ и $\overline{β}=(3,0,0)$.

Решение.

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 3):

Векторы в декартовом координатном пространстве.  Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Векторы в декартовом координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^\circ$. Найдем длины этих векторов:

$|\overline{α}|=\sqrt{0+16+0}=4$

$|\overline{β}|=\sqrt{9+0+0}=3$

Тогда, по определению 1, получим модуль $|\overline{δ}|$

$|\overline{δ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

  1. $\overline{α}х\overline{β}=-(\overline{β}х\overline{α})$

    Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.

  2. $(r\overline{α})х\overline{β}=r(\overline{α}х\overline{β})$ и $\overline{α}х(r\overline{β})=r(\overline{α}х\overline{β})$

    Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:

    $(r\overline{α})\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rα_1&rα_2&rα_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

    $\overline{α}х(r\overline{β})=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\rβ_1&rβ_2&rβ_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

  3. $\overline{α}х(\overline{β}+\overline{γ})=\overline{α}\overline{β}+\overline{α}\overline{γ}$ и $(\overline{α}+\overline{β})\overline{γ}=\overline{α}\overline{γ}+\overline{β}\overline{γ}$.

    Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.

    Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:

  4. Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)

    Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

    Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение.

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:

$S=|\overline{α}х\overline{β}|$

Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$

Следовательно

$S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$

Ответ: $24$.