Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти угол между векторами

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Как найти угол между векторами

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Определение 1

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет носить название угол между двумя векторами. (рис. 1).

Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Помощь со студенческой работой на тему
Как найти угол между векторами

Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{δ}\overline{β}=|\overline{δ}||\overline{β}|cos∠(\overline{δ},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

Обозначение: $\overline{δ}\cdot \overline{β}$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\overline{δ}\cdot \overline{β}}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Из теоремы 1 мы знаем, что $\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$ и $|\overline{β}|$, окончательно получим

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{\sqrt{δ_1^2+β_1^2+γ_1^2 } \sqrt{δ_2^2+β_2^2+γ_2^2}}$

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Пример 1

Найти косинус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{11}{3\cdot 5}=\frac{11}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15}$.

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Определение 3

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{δ}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

  1. $|\overline{δ}х\overline{β}|=|\overline{δ}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{δ},\overline{β})$
  2. $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{δ}$, $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{β}$
  3. $(\overline{δ}х\overline{β},\overline{δ},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

${\sin \angle \left(\overrightarrow{\delta },\overrightarrow{\beta }\right)\ }=\frac{\left|\overrightarrow{\delta }х\overrightarrow{\beta }\right|}{\left|\overrightarrow{\delta }\right||\overrightarrow{\beta }|}$

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$, $|\overline{β}|$ и $|\overline{δ}х\overline{β}|$, окончательно получим

$sin∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\sqrt{(δ_2 β_3-δ_3 β_2)^2+(δ_3 β_1-δ_1 β_3)^2+(δ_1 β_2-δ_2 β_1)^2}}{\sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}\sqrt{β_1^2+β_2^2+β_3^2}}$

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.

Пример 2

Найти синус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&-2&2\\3&0&4\end{vmatrix}=-8\overline{i}+2\overline{j}+6\overline{k}=(-8,1,6)$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}х\overline{β}|=\sqrt{(-8)^2+2^2+6^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$

$|\overline{δ}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$sin∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{2\sqrt{26}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{26}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{26}}{15}$.