Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифмическое дифференцирование

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование
Содержание статьи
Определение

Функция, обратная к показательной функции f(x) = ax при a ≠ 1 называется логарифмической функцией по основанию а и обозначается logax, т.е.f -1(x) = logax.

Область определения логарифмической функции $D(log_ax) = (0, \infty )\ $

Множество значений логарифмической функции $R(log_ax) = (- \infty ,\infty )$.

График логарифмической функции

Рисунок 1. График логарифмической функции

Логарифмическое дифференцирование является методом дифференцирования функции $y = f(x)$.

Алгоритм дифференцирования

  1. Взять натуральные логарифмы от выражения y = f(x).
  2. Продифференцировать правую и левую часть по х.
  3. \[\left(\ln y\right){{'} } =\frac{y'}{y} \]
  4. Решить получающееся уравнение относительно y '.
Замечание

Если $f(x) \[\left|y\right|=\left|f(x)\right|\] \[\frac{d}{dx} (\ln \left|x\right|)=\frac{1}{x} \]

Помощь со студенческой работой на тему
Логарифмическое дифференцирование

Пример 1

Найти производную функции

\[y=\cos x^{arctgx} \]

Решение.

  1. Возьмем натуральные логарифмы
  2. \[\ln y=\ln (\cos x)^{arctgx} \] \[\ln y=arctgx\cdot \ln (\cos x)\]
  3. Продифференцируем выражение
  4. \[\frac{1}{y} y'=\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } +arctgx\cdot \frac{1}{\cos x} (-\sin x)=\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } -arctgx\cdot tgx\]
  5. Выразим y'
  6. \[y'=y\left(\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } +arctgx\cdot \frac{1}{\cos x} (-\sin x)=\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } -arctgx\cdot tgx\right)\]
  7. Заменим y
  8. \[y'=(\cos x)^{arctgx} \left[\frac{\ln \cos x}{1+x^{2} } -arctgx\cdot tgx\right]\]
Пример 2

Найти производную функции

\[y=(x^{3} -1)^{tg2x} \]

Решение.

  1. Возьмем натуральные логарифмы
  2. \[\ln y=\ln (x^{3} -1)^{tg2x} \] \[\ln y=tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)\]
  3. Продифференцируем выражение
  4. \[\left(\ln y\right){{'} } =\left(tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)\right){{'} } \] \[\frac{y{{'} } }{y} =\left(tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)\right){{'} } \] \[\frac{y{{'} } }{y} =tg2x'\cdot \ln (x^{3} -1)+tg2x\cdot \ln (x^{3} -1)'\] \[\frac{y{{'} } }{y} =\frac{2}{\cos ^{2} 2x} \cdot \ln (x^{3} -1)+tg2x\cdot \frac{3x^{2} }{x^{3} -1} \]
  5. Выразим y'
  6. \[y{{'} } =y\left(\frac{2\ln (x^{3} -1)}{\cos ^{2} 2x} +\frac{3x^{2} tg2x}{x^{3} -1} \right)\]
  7. Заменим y
  8. \[y{{'} } =(x^{3} -1)^{tg2x} \left(\frac{2\ln (x^{3} -1)}{\cos ^{2} 2x} +\frac{3x^{2} tg2x}{x^{3} -1} \right)\]
Пример 3

Найти производную функции

\[y=\left(\cos (x-1)\right)^{\ln x} \]

Решение.

  1. Возьмем натуральные логарифмы
  2. \[\ln y=\ln \left(\cos (x-1)\right)^{\ln x} \] \[\ln y=\ln x\ln \left(\cos (x-1)\right)\]
  3. Продифференцируем выражение
  4. \[\left(\ln y\right){{'} } =\left(\ln x\cdot \ln \left(\cos (x-1)\right)\right){{'} } \] \[\frac{y{{'} } }{y} =\ln x'\cdot \ln \left(\cos (x-1)\right)+\ln x\cdot \ln \left(\cos (x-1)\right){{'} } \] \[\frac{y{{'} } }{y} =\frac{1}{x} \cdot \ln \left(\cos (x-1)\right)+\ln x\cdot \frac{1}{\cos (x-1)} \left(\cos (x-1)\right){{'} } \] \[\frac{y{{'} } }{y} =\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)} \]
  5. Выразим y'
  6. \[y{{'} } =y\left(\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)} \right)\]
  7. Заменим y
  8. \[y{{'} } =\left(\cos (x-1)\right)^{\ln x} \left(\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)} \right)\]