Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Объем тела

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Объем тела

Понятие объема

Понятие объема тел будем связывать с такой геометрической фигурой, как куб. За единицу объема фигуры будем принимать объем куба с ребром, равным единице. Из этого очевидно, что объем куба будет равняться кубу длины его ребра. Введем несколько свойств, для понятия объема геометрических фигур.

  1. У равных геометрических тел равные объемы.

  2. Тело, состоящее из нескольких тел, имеет своим объемом сумму объемов тел, из которых оно состоит.

Одной из основных формул для вычисления объемов тел является формула вычисления объема тел с помощью определенного интеграла:

Здесь $S\left(x\right)$ - функция площади сечения фигуры плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ (рис. 1).



Рисунок 1.

Выведем теперь объемы фигур, хорошо известных в курсе стереометрии. Для это будем рассматривать поиск объемов как задачи на использование формулы нахождения объема с помощью интеграла.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Пример 1

Доказать, что объем прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение ширины, высоты и длины данного параллелепипеда.

Доказательство.

Обозначим высоту параллелепипеда через $c$, ширину через $b$ и длину через $a$. Выберем одну из вершин как начало координат и проведем ось $Ox$ через длину параллелепипеда (рис. 2.).



Рисунок 2.

Проводя сечения, перпендикулярно $Ox$ будем получать прямоугольники с площадью $S\left(x\right)=bc$. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

\[V=\int\limits^a_0{bcdx}=bc{\left.x\right|}^a_0=bca-bc\cdot 0=abc\]

ч. т. д.

Объем призмы

Пример 2

Доказать, что объем призмы определяется как произведение площади основания этой призмы на высоту.

Доказательство.

Рассмотрим произвольную призму, проведем в ней высоту и построим ось $Ox$ через эту высоту, считая началом координат точку $O$ основания высоты (рис. 3).



Рисунок 3.

Проводя сечения, перпендикулярно $Ox$ будем получать многоугольники с $S\left(x\right)=S_{осн}$. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

\[V=\int\limits^h_0{S_{осн}dx}=S_{осн}{\left.x\right|}^h_0=S_{осн}h-S_{осн}\cdot 0=S_{осн}h\]

ч. т. д.

Объем цилиндра

Пример 3

Доказать, что объем цилиндра определяется как произведение площади основания цилиндра на его высоту.

Рассмотрим произвольный цилиндр, проведем в нем высоту и построим ось $Ox$ через эту высоту, считая началом координат точку $O$ основания высоты (рис. 4).



Рисунок 4.

Проводя сечения, перпендикулярно $Ox$ будем получать окружности с $S\left(x\right)=\pi r^2$. Используя формулу для вычисления объема тел, получим

\[V=\int\limits^h_0{\pi r^2dx}=\pi r^2{\left.x\right|}^h_0=\pi r^2h-\pi r^2\cdot 0=S_{осн}h\]

ч. т. д.

Объем шара

Пример 4

Доказать, что объем шара определяется следующей формулой

\[V=\frac{4}{3}\pi R^3\]

Доказательство.

Пусть нам дан шар с радиусом, равным $R$. Проведем через центр сферы произвольно ось $Ox$ (рис. 5).



Рисунок 5.

Проведем через произвольную точку $O_1$ сечение, перпендикулярное оси $Ox.$ Данное сечение является окружностью. Обозначим ее радиус через $r$. Так как точка выбрана произвольно, то площадь окружности можно считать функцией от абсциссы $x$. Обозначим её через $S(x)$. Нам известно, что $S\left(x\right)=\pi r^2$. По теореме Пифагора, получим

\[r=\sqrt{R^2-x^2}\]

То есть

\[S\left(x\right)=\pi (R^2-x^2)\]

Эта формула верна при всех $--R\le x\le R$

Вычисляя объем с помощью определенного интеграла, получим

\[V=\int\limits^R_{-R}{\pi (R^2-x^2)}=\frac{4}{3}\pi R^3\]

ч. т. д.