Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества
Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.
Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:
Логарифмом называют показатель степени $n$, при возведении в которую числа $а$ получают число $b$.
Показательное уравнение $a^n=b$ при $a > 0$, $a \ne 1$ не имеет решений при неположительном $b$ и имеет единственный корень при положительном $b$. Этот корень называется логарифмом числа $b$ по основанию $а$ и записывают:
$a^{\log_{a} b}=b$.
Выражение
$a^{\log_{a} b}=b$
называют основным логарифмическим тождеством при условии, что $a,b > 0$, $a \ne 1$.
$17^{\log_{17} 6}=6$;
$e^{\ln13} =13$;
$10^{\lg23}=23$.
Основное логарифмическое тождество
Основным логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.
$7^5=16 807$, следовательно $\log_{7}16 807=5$.
$3^{-5}=\frac{1}{243}$, следовательно $\log_{3}\frac{1}{243}=-5$.
$11^0=1$, следовательно $\log_{11}1=0$.
Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества:
Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:
если $\log_{a}b=\log_{a}c$, то $b=c$.
Рассмотрим ограничения, которые применяются для логарифмического тождества:
-
$a \ne 1$.
Т.к. при возведении в любую степень единицы всегда получим единицу, а равенство $x=\log_{a}b$ существует только при $b=1$, то при этом $\log_{1}1$ будет любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 1$.
-
$a > 0$.
Логарифм для $a=0$ согласно определению может существовать лишь при $b=0$. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то $\log_{0}0$ может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 0$. При $a рациональных и иррациональных значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают $a > 0$.
-
$b > 0$.
$b > 0$ следует из условия $a > 0$, т.к. $x=\log_{a}b$, а значение степени положительного числа a всегда будет положительным.
Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.
Вычислить $81^{\log_{9} 7}$.
Решение.
Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:
$81=9^2$.
Теперь можем записать:
$81^{\log_{9}7}=(9^2)^{\log_{9}7}=$
воспользуемся свойством степени:
$=9^{2 \cdot \log_{9}7}=9^{\log_{9}7} \cdot 9^{\log_{9}7}=$
к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:
$=7 \cdot 7=49$.
Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.
Вычислить $7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}$.
Решение.
$7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}=7^{\log_{7} 11}=11$.
Ответ: $11$.
Вычислить $7^{\frac{3}{\log_{11} 7}}$.
Решение.
В предыдущем примере вычислялся похожий логарифм, который отличается от данного числом $3$ в числителе дроби показателя степени числа.
Воспользуемся свойством возведения в степень:
$7^{\frac{3}{\log_{11} 7}}=(7^{\frac{1}{\log_{11} 7}} )^3=(7^{\log_{7} 11} )^3=11^3=1331$.
Ответ: $1331$.
Вычислить $7^{\frac{1}{2\log_{11} 7}}$.
Решение.
В данном примере в знаменателе стоит число $2$, которое отличает выражение от вышерассмотренного примера. Вынесем число $\frac{1}{2}$ за знак дроби:
$7^{\frac{1}{2\log_{11} 7}}=7^{\frac{1}{\log_{11} 7} \cdot \frac{1}{2}}=(7^{\frac{1}{\log_{11} 7}} )^{\frac{1}{2}}=(7^{\log_{7} 11} )^{\frac{1}{2}}=11^{\frac{1}{2}}=\sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{11}$.
Вычислить $6^{(\log_{7}6)^{-1}}$.
Решение.
$6^{(\log_{7}6)^{-1}}=6^{\frac{1}{\log_{7} 6}}=6^{\log_{6} 7}=7$.
Ответ: $7$.
Вычислить $10^{-8 \lg3}$.
Решение.
$10^{-8 \lg3}=(10^{\lg3} )^{-8}=3^{-8}=\frac{1}{6 561}$.
Ответ: $10^{-8 \lg3}=\frac{1}{6 561}$.
