Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Основное логарифмическое тождество

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Основное логарифмическое тождество
Основное логарифмическое тождество

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Определение 1

Логарифмом называют показатель степени $n$, при возведении в которую числа $а$ получают число $b$.

Замечание 1

Показательное уравнение $a^n=b$ при $a > 0$, $a \ne 1$ не имеет решений при неположительном $b$ и имеет единственный корень при положительном $b$. Этот корень называется логарифмом числа $b$ по основанию $а$ и записывают:

$a^{\log_{a} b}=b$.

Определение 2

Выражение

$a^{\log_{a} b}=b$

называют основным логарифмическим тождеством при условии, что $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 1

$17^{\log_{17} 6}=6$;

$e^{\ln⁡13} =13$;

$10^{\lg23}=23$.

Основное логарифмическое тождество

Основным логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.

Пример 2

$7^5=16 807$, следовательно $\log_{7}16 807=5$.

$3^{-5}=\frac{1}{243}$, следовательно $\log_{3}\frac{1}{243}=-5$.

$11^0=1$, следовательно $\log_{11}⁡1=0$.

Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества:

Определение 3

Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:

если $\log_{a}⁡b=\log_{a}⁡c$, то $b=c$.

Рассмотрим ограничения, которые применяются для логарифмического тождества:

  1. $a \ne 1$.

    Т.к. при возведении в любую степень единицы всегда получим единицу, а равенство $x=\log_{a}⁡b$ существует только при $b=1$, то при этом $\log_{1}⁡1$ будет любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 1$.

  2. $a > 0$.

    Логарифм для $a=0$ согласно определению может существовать лишь при $b=0$. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то $\log_{0}⁡0$ может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 0$. При $a рациональных и иррациональных значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают $a > 0$.

  3. $b > 0$.

    $b > 0$ следует из условия $a > 0$, т.к. $x=\log_{a}⁡b$, а значение степени положительного числа a всегда будет положительным.

Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.

Пример 3

Вычислить $81^{\log_{9} 7}$.

Решение.

Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:

$81=9^2$.

Теперь можем записать:

$81^{\log_{9}7}=(9^2)^{\log_{9}7}=$

воспользуемся свойством степени:

$=9^{2 \cdot \log_{9}7}=9^{\log_{9}7} \cdot 9^{\log_{9}7}=$

к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:

$=7 \cdot 7=49$.

Замечание 2

Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.

Пример 4

Вычислить $7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}$.

Решение.

$7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}=7^{\log_{7} 11}=11$.

Ответ: $11$.

Пример 5

Вычислить $7^{\frac{3}{\log_{11} 7}}$.

Решение.

В предыдущем примере вычислялся похожий логарифм, который отличается от данного числом $3$ в числителе дроби показателя степени числа.

Воспользуемся свойством возведения в степень:

$7^{\frac{3}{\log_{11} 7}}=(7^{\frac{1}{\log_{11} 7}} )^3=(7^{\log_{7} 11} )^3=11^3=1331$.

Ответ: $1331$.

Пример 6

Вычислить $7^{\frac{1}{2\log_{11} 7}}$.

Решение.

В данном примере в знаменателе стоит число $2$, которое отличает выражение от вышерассмотренного примера. Вынесем число $\frac{1}{2}$ за знак дроби:

$7^{\frac{1}{2\log_{11} 7}}=7^{\frac{1}{\log_{11} 7} \cdot \frac{1}{2}}=(7^{\frac{1}{\log_{11} 7}} )^{\frac{1}{2}}=(7^{\log_{7} 11} )^{\frac{1}{2}}=11^{\frac{1}{2}}=\sqrt{11}$.

Ответ: $\sqrt{11}$.

Пример 7

Вычислить $6^{(\log_{7}6)^{-1}}$.

Решение.

$6^{(\log_{7}6)^{-1}}=6^{\frac{1}{\log_{7} 6}}=6^{\log_{6} 7}=7$.

Ответ: $7$.

Пример 8

Вычислить $10^{-8 \lg⁡3}$.

Решение.

$10^{-8 \lg⁡3}=(10^{\lg⁡3} )^{-8}=3^{-8}=\frac{1}{6 561}$.

Ответ: $10^{-8 \lg⁡3}=\frac{1}{6 561}$.