Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Шар

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Шар

С понятием шара очень тесно связано понятие сферы, поэтому, вначале мы разберемся с этим понятием.

Понятие сферы

Определение 1

Сфера -- геометрическая фигура в пространстве, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.

Определение 2

В рамках определения 1, заданная точка называется центром сферы.

Определение 3

Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой называется радиусом сферы $(R)$ (Рис. 1).



Рисунок 1.

Уравнение сферы

Выведем уравнение сферы в системе координат с тремя измерениями. Пусть центр сферы $C$ имеет координаты $(x_0,y_0,z_0)$, а радиус сферы равен $R$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y,z)$ -- произвольная точка этой сферы (рис. 2).



Рисунок 2.

Расстояние от центра сферы до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=R$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) -- искомое нами уравнение.

Также можно выделить частный случай для уравнения сферы. Если центр сферы лежит вначале координат, то она имеет следующий вид уравнения:

Площадь сферы

Приведем формулу площади сферы, не вдаваясь в её вывод.

Площадь сферы определяется следующей формулой:

Шар

Определение 4

Шар -- геометрическая фигура, ограниченная какой либо сферой, включая саму сферу.

Выведем формулу объема шара.

Теорема 1

Объем шара определяется следующей формулой

\[V=\frac{4}{3}\pi R^3\]

Доказательство.

Пусть нам дан шар с радиусом, равным $R$. Проведем через центр сферы произвольно ось $Ox$ (рис. 3).



Рисунок 3.

Проведем через произвольную точку $O_1$ сечение, перпендикулярное оси $Ox.$ Данное сечение является окружностью. Обозначим ее радиус через $r$. Так как точка выбрана произвольно, то площадь окружности можно считать функцией от абсциссы $x$. Обозначим её через $S(x)$. Нам известно, что $S\left(x\right)=\pi r^2$. По теореме Пифагора, получим

То есть

Эта формула верна при всех $--R\le x\le R$

Вычисляя объем с помощью определенного интеграла, получим

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти уравнение сферы у которой центр лежит в точке с координатами $(1,\ 1,0)$, а начало координат принадлежит этой сфере. Найти площадь данной сферы и объем шара, ограниченного данной сферой.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной сферы. Для этого будем использовать формулу (1). Так как центр окружности лежит в точке $(1,\ 1,0)$, получим

\[{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+z^2=r^2\]

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(1,\ 1,0)$ до точки $(0,0,0)$

\[r=\sqrt{{(1-0)}^2+{(1-0)}^2}=\sqrt{2}\]

Получаем, уравнение сферы имеет вид:

\[{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+z^2=2\]

Найдем площадь по формуле

\[S=4\pi R^2=8\pi \]

По теореме 1, имеем

\[V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi \]

Ответ: ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2+z^2=2$, $S=8\pi $, $V=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi $.