Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Шар и сфера

Содержание статьи

Шар

Шар является геометрическим пространственным телом.

Вокруг нас очень много предметов, которые имеют форму шара: арбуз, горох, апельсин, стальной шарик и т.п. Форму шара имеет и планета Земля.

Шар имеет центр и характеризуется длиной радиуса и диаметра.

На рисунке изображен шар, который имеет центр в точке $O$. Все точки на поверхности шара расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Это значит, что если выбрать на поверхности любые точки, например, точки $A, B \ и \ C,$ соединить их с центром шара, то получим отрезки, которые будут равны между собой:

$OA=OB=OC.$

Определение 1

Отрезок, который соединяет любую точку поверхности шара с его центром, называется радиусом шара.

Следовательно, $OA, OB \ и \ OC$ – радиусы шара.

Очевидно, что центр шара можно соединить с бесконечным числом точек на поверхности шара. Из этого следует, что можно провести бесконечное множество радиусов шара.

На рисунке изображен отрезок $AB$, который проходит через центр шара и соединяет $2$ точки поверхности шара.

Отрезок $AB$ является диаметром шара. Причем отрезок $AB$ состоит из двух равных отрезков $OA$ и $OB$, которые являются радиусами шара.

Таким образом, длина диаметра шара равна двум его радиусам.

Определение 2

Диаметр шара – отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через его центр.

Объем шара

Шар внутри не пустотелый, а заполненный, к тому же, с точки зрения математики является пространственным телом. Таким образом, можно найти его объем.

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 1

Объем шара вычисляется по следующей формуле:

$V=\frac{4}{3} πR^3$.

Используя определение степени, формула объема шара может быть записана в следующем виде:

$V=\frac{4}{3} πR^3=\frac{4}{3} πR \cdot R \cdot R$.

Пример 1

Найти объем шара, если его радиус равен $5 \frac{3}{7}$ см.

Решение.

Воспользуемся формулой объема шара и подставим в нее значение радиуса и числа Пи:

$V=\frac{4}{3} πR^3=\frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (5 \frac{3}{7})^3=\frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (\frac{38}{7})^3=\frac{4 \cdot 3,14}{3} \cdot \frac{54872}{343}=\frac{689192,32}{1029}≈669,77 \ см^3$

Ответ: $V≈669,77 \ см^3$.

Пример 2

Вычислить радиус шара, если его объем равен $3 \frac{16}{27} \ см^3$.

Решение.

Воспользуемся формулой объема шара и выразим из нее радиус шара:

$V=\frac{4}{3} πR^3$;

$\frac{4}{3} πR^3=V$;

$πR^3=\frac{3}{4} V$;

$R^3=\frac{3V}{4π}$.

Подставим известное значение объема в полученную формулу:

$R^3=\frac{3V}{4π}=\frac{3 \cdot 3 \frac{16}{27}}{4 \cdot 3,14}=\frac{3 \cdot 3 \frac{16}{27}}{4 \cdot 3,14}=\frac{3 \cdot \frac{97}{27}}{12,56}=\frac{97}{9 \cdot 12,56}=\frac{97}{113,04}≈0,8581$

$R≈0,95 см$.

Ответ: $R≈0,95 см$.

Сфера

Древние мыслители и ученые с помощью сферической формы, совершенство которой издавна привлекало их внимание, пытались объяснить гармонию окружающего мира. Например, древние греки представляли вращающуюся хрустальную сферу, к которой были прикреплены звёзды. Древнегреческие ученые создавали космологические модели Земли, которые имели сферическую форму и к которым были прикреплены вращающиеся сферы – планеты.

Определение 3

Поверхность шара называется сферой.

Примерами сферы можно назвать волейбольный мяч, теннисный мяч.

Невозможно развернуть сферу на плоскости. Например, на географических картах видно, что полярные области растянуты, изображены с искажением.

Сфера, как и шар, имеет центр, радиус и диаметр.

Для сферы можно вычислить площадь ее поверхности.

Площадь сферы

Замечание 2

Площадь сферы вычисляется по формуле:

$S = 4πR^2$.

Для вычисления площади сферы нужно ознакомиться с понятием степени числа, зная определение которой формулу площади сферы можно переписать в следующем виде:

$S = 4πR^2= 4πR \cdot R$.

Пример 3

Вычислить площадь сферы, если её радиус равен $2 \frac{4}{5}$ см.

Решение.

Воспользуемся формулой площади сферы:

$S = 4πR^2$.

Подставим значение радиуса в формулу и, используя преобразование дробей и правила умножения дробей, найдем результат:

$S=4πR^2=4 \cdot 3,14 \cdot (2 \frac{4}{5})^2=4 \cdot 3,14 \cdot (\frac{14}{5})^2=4 \cdot 3,14 \cdot \frac{196}{25}=\frac{4 \cdot 3,14 \cdot 196}{25}=\frac{2461,76}{25}≈98,47 \ см^2$.

Ответ: $S≈98,47 \ см^2$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис