Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сократимые дроби

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Сократимые дроби

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.

Определение 1

Сократимая обыкновенная дробь -- это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют положительный отличный от единицы общий делитель.

Пример 1

Например, обыкновенная дробь $\frac{4}{20}$ является сократимой, т.к. числитель $4$ и знаменатель $20$ делятся на $4$, т.е. имеют положительный общий делитель $4$, отличный от единицы. Сократимыми также являются дроби $\frac{3}{12}$, $\frac{7}{7}$. Легко увидеть, что числитель $3$ и знаменатель $12$ имеют отличный от единицы положительный общий делитель $3$, а числа $7$ и $7$ имеют общий делитель $7$.

Определение 2

Несократимая обыкновенная дробь -- это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми, т.е. имеют единственный общий положительный делитель -- единицу.

Пример 2

Например, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{11}{4}$, $\frac{171}{5}$, $\frac{18}{35}$ являются несократимыми, т.к. числитель и знаменатель каждой из них -- взаимно простые числа.

Правила проверки дроби на сократимость

В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.

Например, легко увидеть, что дробь $\frac{230}{450}$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$. Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $\frac{368}{6824}$ сократима.

В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $\frac{240671}{357893}$. В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

  • если $НОД=1$, то дробь является несократимой;
  • если $НОД\ne 1$, то дробь является сократимой.
Пример 3

Проверить на сократимость обыкновенную дробь $\frac{203}{861}$.

Решение.

Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми числами. Для этого найдем НОД числителя и знаменателя и проверим, равен ли он единице.

НОД вычислим по алгоритму Евклида:

$\frac{861}{203}=4$(остаток $49$)

$\frac{203}{49}=4$ (остаток $7$)

$\frac{49}{7}=7$ (остаток $0$)

$\frac{33}{25}=1$ (остаток $8$)

$\frac{25}{8}=3$ (остаток $1$)

Таким образом, НОД($861, 203)=7$. Итак, числитель и знаменатель данной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому $\frac{203}{861}$ -- сократимая дробь.

Ответ: дробь $\frac{203}{861}$ -- сократимая.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Например, сократим обыкновенную дробь $\frac{7}{21}$ на $7$, т.к. $7\div 7=1$ и $21\div 7=3$. В результате сокращения получим дробь $\frac{1}{3}$, для которой $\frac{7}{21}=\frac{7\cdot 1}{7\cdot 3}=\frac{1}{3}$.

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя -- наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.

Дробь $\frac{a:НОД\left(a,\ b\right)}{b:НОД\left(a,\ b\right)}$ -- несократимая, т.к. $a:НОД\left(a,\ b\right)$ и $b:НОД\left(a,\ b\right)$ -- взаимно простые числа.

Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.

Правило сокращения дробей

  1. Найти НОД числителя и знаменателя дроби.

  2. Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.

Пример 4

Сократить дробь $\frac{187}{231}$.

Решение.

Воспользуемся правилом сокращения дробей:

  1. Найдем НОД($187, 231$).

    Наиболее удобным является алгоритм Евклида:

    \[231=187\cdot 1+44\]\[187=44\cdot 4+11\]\[44=11\cdot 4\]

    Таким образом, НОД($187, 231)=11$.

  2. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{187}{231}$ на $11$, в результате чего получим несократимую дробь, равную исходной дроби:

    \[\frac{187}{231}=\frac{17\cdot 11}{21\cdot 11}=\frac{17}{21}.\]

Ответ: $\frac{187}{231}=\frac{17}{21}$

Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ \textit{разложения дроби на простые множители}, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.

Пример 5

Сократить дробь $\frac{720}{960}$.

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:



Рисунок 1.

Получим $\frac{720}{960}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}$.

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):

\[\frac{720}{960}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}=\frac{3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}.\]

Ответ: $\frac{720}{960}=\frac{3}{4}$.

Также можно использовать еще один способ сокращения дроби -- последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.

Пример 6

Сократить дробь $\frac{5000}{21150}$.

Решение.

Легко увидеть, что общим множителем числителя и знаменателя дроби является число $10$. После сокращения дроби $\frac{5000}{21150}$ на $10$ получим $\frac{500}{2115}$.

Далее сократим дробь $\frac{500}{2115}$ на $5$, исходя из признака делимости на $5$. Получим $\frac{100}{423}$ -- несократимую дробь. Сокращение завершено.

Ответ: $\frac{5000}{21150}=\frac{100}{423}$