Сократимые и несократимые дроби
Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.
Сократимая обыкновенная дробь -- это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют положительный отличный от единицы общий делитель.
Например, обыкновенная дробь $\frac{4}{20}$ является сократимой, т.к. числитель $4$ и знаменатель $20$ делятся на $4$, т.е. имеют положительный общий делитель $4$, отличный от единицы. Сократимыми также являются дроби $\frac{3}{12}$, $\frac{7}{7}$. Легко увидеть, что числитель $3$ и знаменатель $12$ имеют отличный от единицы положительный общий делитель $3$, а числа $7$ и $7$ имеют общий делитель $7$.
Несократимая обыкновенная дробь -- это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми, т.е. имеют единственный общий положительный делитель -- единицу.
Например, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{11}{4}$, $\frac{171}{5}$, $\frac{18}{35}$ являются несократимыми, т.к. числитель и знаменатель каждой из них -- взаимно простые числа.
Правила проверки дроби на сократимость
В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.
Например, легко увидеть, что дробь $\frac{230}{450}$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$. Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $\frac{368}{6824}$ сократима.
В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $\frac{240671}{357893}$. В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.
Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость
Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:
- если $НОД=1$, то дробь является несократимой;
- если $НОД\ne 1$, то дробь является сократимой.
Проверить на сократимость обыкновенную дробь $\frac{203}{861}$.
Решение.
Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми числами. Для этого найдем НОД числителя и знаменателя и проверим, равен ли он единице.
НОД вычислим по алгоритму Евклида:
$\frac{861}{203}=4$(остаток $49$)
$\frac{203}{49}=4$ (остаток $7$)
$\frac{49}{7}=7$ (остаток $0$)
$\frac{33}{25}=1$ (остаток $8$)
$\frac{25}{8}=3$ (остаток $1$)
Таким образом, НОД($861, 203)=7$. Итак, числитель и знаменатель данной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому $\frac{203}{861}$ -- сократимая дробь.
Ответ: дробь $\frac{203}{861}$ -- сократимая.
Сокращение дробей
Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Например, сократим обыкновенную дробь $\frac{7}{21}$ на $7$, т.к. $7\div 7=1$ и $21\div 7=3$. В результате сокращения получим дробь $\frac{1}{3}$, для которой $\frac{7}{21}=\frac{7\cdot 1}{7\cdot 3}=\frac{1}{3}$.
Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду
Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя -- наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.
Дробь $\frac{a:НОД\left(a,\ b\right)}{b:НОД\left(a,\ b\right)}$ -- несократимая, т.к. $a:НОД\left(a,\ b\right)$ и $b:НОД\left(a,\ b\right)$ -- взаимно простые числа.
Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.
Правило сокращения дробей
-
Найти НОД числителя и знаменателя дроби.
-
Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.
Сократить дробь $\frac{187}{231}$.
Решение.
Воспользуемся правилом сокращения дробей:
-
Найдем НОД($187, 231$).
Наиболее удобным является алгоритм Евклида:
\[231=187\cdot 1+44\]\[187=44\cdot 4+11\]\[44=11\cdot 4\]Таким образом, НОД($187, 231)=11$.
-
Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{187}{231}$ на $11$, в результате чего получим несократимую дробь, равную исходной дроби:
\[\frac{187}{231}=\frac{17\cdot 11}{21\cdot 11}=\frac{17}{21}.\]
Ответ: $\frac{187}{231}=\frac{17}{21}$
Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ \textit{разложения дроби на простые множители}, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.
Сократить дробь $\frac{720}{960}$.
Решение.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
Рисунок 1.
Получим $\frac{720}{960}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}$.
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):
\[\frac{720}{960}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}=\frac{3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}.\]Ответ: $\frac{720}{960}=\frac{3}{4}$.
Также можно использовать еще один способ сокращения дроби -- последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.
Сократить дробь $\frac{5000}{21150}$.
Решение.
Легко увидеть, что общим множителем числителя и знаменателя дроби является число $10$. После сокращения дроби $\frac{5000}{21150}$ на $10$ получим $\frac{500}{2115}$.
Далее сократим дробь $\frac{500}{2115}$ на $5$, исходя из признака делимости на $5$. Получим $\frac{100}{423}$ -- несократимую дробь. Сокращение завершено.
Ответ: $\frac{5000}{21150}=\frac{100}{423}$
