Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сложение дробей, вычитание дробей

Все предметы / Математика / Дробные числа / Сложение дробей, вычитание дробей

Сложение обыкновенных дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{3}{8}$ доли яблока, к ним положили еще $\frac{2}{8}$ доли того же яблока. Это можно записать следующим образом: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$. В результате на тарелке оказалось $3+2=5$ восьмых долей яблока, то есть $\frac{5}{8}$ долей. То есть результатом сложения обыкновенных дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$ является обыкновенная дробь $\frac{5}{8}$.

Пример дает возможность сделать вывод, что в результате сложения дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей, и знаменателем, равным знаменателю исходных дробей.

Таким образом, можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним:

Пример 2

Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$.

Решение.

Т.к. знаменатели у складываемых дробей равны, в результате сложения знаменатель дроби будет $18$, а числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть $7+4=11$. Таким образом, сложение дробей $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ дает дробь $\frac{11}{18}$.

Краткое решение: $\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{11}{18}$.

После выполнения действий над дробями нужно проверить результат и, при необходимости, преобразовать его следующим образом:

  • В результате сложения дробей получили сократимую дробь -- необходимо выполнить сокращение дроби.
  • В результате получили неправильную дробь -- необходимо выделить целую часть.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Вычислить сумму обыкновенных дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$.

Решение.

Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}\]

Получили сократимую дробь, т.к. числитель и знаменатель делятся на $5$ (по признаку делимости на $5$). Сократим полученную дробь:

\[\frac{5}{10}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{1}{5}\]

Итак, в результате сложения дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ получили $\frac{1}{5}$.

Краткое решение: $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Пример 4

Выполнить сложение обыкновенных дробей $\frac{52}{69}$ и $\frac{77}{69}$.

Решение.

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}\]

Проверим дробь на сократимость. Т.к. и числитель, и знаменатель соответствуют признаку делимости на $3$, полученная дробь может быть сокращена на число $3$. Получим:

\[\frac{129}{69}=\frac{129:3}{69:3}=\frac{43}{23}\]

Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{43}{23}$, получим $1\frac{20}{23}$.

Краткое решение:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}\]

Ответ: $1\frac{20}{23}$.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, для чего их приводят к общему знаменателю.

Правило сложения дробей с разными знаменателями:

  1. Складываемые дроби привести к общему знаменателю (чаще всего, к наименьшему общему знаменателю).

  2. Выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 5

Сложить обыкновенные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{21}$.

Решение.

Складываемые дроби имеют разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное НОК чисел $7$ и $21$ равно $21$: $НОК\left(7,\ \ 21\right)=21$.

Найдем соответствующие дополнительные множители: $21:7=3.$ Получим

\[\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}\]

Сложим дроби:

\[\frac{18}{21}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Краткое решение:

\[\frac{6}{7}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Ответ: $1\frac{1}{21}$.

Вычитание обыкновенных дробей

Действие вычитания дробей является обратным сложению.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{6}{8}$ долей яблока. $\frac{3}{8}$ доли съели. Это можно записать как $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}$. В результате на тарелке осталось $6-3=3$ восьмых доли яблока, т.е. $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$.

Таким образом, можно сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитаются, а знаменатель остается прежним:

Пример 6

Выполнитm вычитание обыкновенных дробей $\frac{13}{18}$ и $\frac{5}{18}$ .

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели одинаковые. Числитель уменьшаемой дроби равен $13$, а числитель вычитаемой дроби равен $5$. Разность числителей равна $13-5=8$. Пользуясь правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, запишем:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}\]

В результате вычитания получилась сокращаемая дробь (по признаку деления на $2$. Сократим получившуюся дробь на $2$:

\[\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}\]

Краткое решение:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\]

Ответ: $\frac{4}{9}$

Вычитание дробей с разными знаменателями

При вычитании дробей с разными знаменателями их сводят к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, для чего дроби приводят к общему знаменателю.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями:

  1. Привести дроби к общему знаменателю (чаще всего к наименьшему общему знаменателю).

  2. Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 7

Вычесть из обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$ обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$.

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели разные, поэтому воспользуемся правилом вычитания дробей с разными знаменателями:

  1. Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $НОК\left(9,12\right)=36$.

    Дополнительный множитель для дроби $\frac{4}{9}$ будет число $36:9=4$, а дополнительный множитель дроби $\frac{5}{12}$ будет число $36:12=3$. Получим:

    \[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}-\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}\]
  2. Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:

    \[\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

Краткое решение:

\[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис