Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сложение и вычитание дробей

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Понятие дроби / Сложение и вычитание дробей

С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби:

т.е. при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1

Найти сумму $\frac{17b^2}{a}+\frac{24\ b^2}{a}$

Данные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их суммы воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим

\[\frac{17b^2}{a}+\frac{24\ b^2}{a}=\frac{17b^2+24\ b^2}{a}=\frac{41b^2}{a}\]

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

\[\frac{a}{d}-\frac{b}{d}=\frac{a-b}{d}\]

т.е. при вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель уменьшаемой исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Помощь со студенческой работой на тему
Сложение и вычитание дробей

Пример 2

Найти разность двух дробей $\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}$

Исходные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их разности воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим

\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}\]

Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо изменить знак в числителе дроби. Чтобы это сделать, вспомним, что для того, чтобы получить тождественное выражение, необходимо воспользоваться следующим свойством:

Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью. Тогда получим:

\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=-\frac{x^2-16}{x-4}\]

Теперь для преобразования дроби воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что $16=4^2$, значит указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители

\[х^2-16=(x-4)(x+4)\]

Тогда получаем

\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=-\frac{x^2-16}{x-4}=-\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}\]

Заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь

\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=-\frac{x^2-16}{x-4}=-\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x-4}=\ -\left(x+4\right)=-x-4\]

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Замечание 1

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют действия, аналогичные тем, которые производят при сложении и вычитании обычных дробей с разными знаменателями.

Алгоритм:

  1. Привести дроби к одинаковому знаменателю.

  2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.

  3. Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на $2$ шаге.

  4. Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

Самое трудное в указанном алгоритме - это нахождение общего знаменателя. Общим знаменателем должно выступить выражение (одночлен или многочлен), которое делится на каждый из знаменателей исходных дробей без остатка.

Если в условии в заданных дробях знаменатели не представлены в виде произведения множителей, то сначала необходимо чаще всего их на множители разложить и далее найти НОК знаменателей данных дробей.

Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей

  1. Разложить знаменатели на множители.

  2. Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в знаменателях.

  3. Составить произведение буквенных множителей, входящих в состав знаменателей, причем, если некоторый множитель входит в состав нескольких знаменателей, его необходимо взять с наибольшим показателем степени из имеющихся.

  4. Составить общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на $2$ этапе, и буквенной части, полученной на $3$ шаге.

Пример 3

Найти общий знаменатель для дробей $\frac{2xy-1}{4x^3}$ и $\frac{3y-x}{6xy}$

Воспользуемся алгоритмом.

  1. Исходные знаменатели уже представляют собой произведение множителей, значит, переходим к шагу $2$.

  2. Коэффициенты данных выражений $4$ и $6$ . Найдем их НОК:

    $4=2\cdot 2$

    $6=2\cdot 3$, тогда $НОК(4,6)=2\cdot 2\cdot 3=12$

  3. В состав знаменателей первой и второй дроби входит переменная $x$, но в знаменателе первой дроби показатель степени равен $3(x^3)$, а в знаменателе второй дроби переменная $x$ в первой степени. Поэтому выбираем для общего знаменателя $x^3$. Переменная y входит во второй знаменатель, значит и ее включаем в искомое произведение, которое будет являться общим знаменателем в последствии. Искомое произведение буквенной части будет иметь вид: $x^3y$

  4. Составляем общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на $2$ этапе, и буквенной части, полученной на $3$ шаге: $12x^3y$.

Теперь попробуем выполнить сложение указанных дробей по алгоритму.

Пример 4

Выполнить сложение дробей $\frac{2xy-1}{4x^3}$ и $\frac{3y-x}{6xy}$

  1. 1шаг нами выполнен в предыдущем примере: общим знаменателем этих двух дробей будет одночлен $12x^3y.$

  2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.



    Рисунок 1.

  3. Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на $2$ шаге.



    Рисунок 2.

  4. Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем

    \[\frac{2xу-1}{4x^3} +\frac{3у-x}{6xy}=\frac{6xy^2-3y}{12x^3y}+\frac{6x^2y-\ 2x^3}{12x^3y}= \frac{6xy^2-\ 3y+6x^2y-\ 2x^3}{12x^3y}\]
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис