Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Умножение дробей, нахождение дроби от числа

Содержание статьи

Умножение обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей: При умножении двух дробей получается дробь, в числителе которой записывается произведение числителей данных дробей, а в знаменателе – произведение знаменателей:

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Замечание 1

Данное правило можно использовать для умножения правильных и неправильных дробей, дробей с одинаковыми и разными знаменателями.

Пример 1

Умножить обыкновенную дробь $\frac{12}{23}$ на обыкновенную дробь $\frac{4}{5}$.

Решение.

Произведение числителей данных дробей равно $12\cdot 4=48$.

Произведение знаменателей равно $23\cdot 5=115$.

Найдем произведение дробей $\frac{12}{23}$ и $\frac{4}{5}$:

$\frac{12}{23}\cdot \frac{4}{5}=\frac{12\cdot 4}{23\cdot 5}=\frac{48}{115}$.

Ответ: $\frac{48}{115}$.

Замечание 2

Если в результате умножения дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{5}{17}$ и $\frac{43}{4}$.

Решение.

По правилу умножения обыкновенных дробей получим:

$\frac{5}{17}\cdot \frac{43}{4}=\frac{5\cdot 43}{17\cdot 4}=\frac{215}{68}$

Получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

$\frac{215}{68}=\frac{3 \ 11}{68}$

Ответ: $\frac{3 \ 11}{68}$.

Замечание 3

Если хотя бы одна из умножаемых дробей сократима, можно выполнить ее сокращение до умножения. Для этого числители и знаменатели раскладывают на простые множители и сокращают одинаковые множители числителя и знаменателя.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{42}\cdot {49}{9}$.

Решение.

Используя правило умножения обыкновенных дробей, найдем:

$\frac{6}{42}\cdot \frac{49}{9}=\frac{6\cdot 49}{42\cdot 9}$.

Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители:

$\frac{6\cdot 49}{42\cot 9}=\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 3\cdot 3}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 3\cdot 3}=\frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

При умножении дробей можно использовать переместительное свойство умножения:

Замечание 4

При изменении мест множителей их произведение не изменится:

$\frac{a}{b}\cdot {c}{d}=\frac{c}{d}\cdot {a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Нахождение дроби от числа

Замечание 5

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

В результате умножения дроби на натуральное число получают дробь, у которой числитель равен произведению числителя дроби и натурального числа, а знаменатель остается неизменным:

$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}$

Если представить натуральное число $n$ в виде неправильной дроби $\frac{n}{1}$ и применить правило умножения двух дробей, получим:

$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{1}=\frac{a\cdot n}{b\cdot 1}=\frac{a\cdot n}{b}$

Пример 4

Выполнить умножение обыкновенной дроби $\frac{7}{13}$ на натуральное число $8$.

Решение.

При умножении числителя дроби $7$ на натуральное число $8$ получим $56$. Воспользуемся правилом умножения дроби на число:

$\frac{7}{13}\cdot 8=\frac{56}{13}$

Т.к. полученная дробь – неправильная, выделим целую часть:

$\frac{56}{13}=4 \frac{4}{13}$

Ответ: $\frac{7}{13}\cdot 8=4 \frac{4}{13}$.

Замечание 6

Если в результате умножения дроби на число получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.

Пример 5

Умножить обыкновенную дробь $\frac{4}{25}$ на натуральное число $5$.

Решение.

Используя правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, получим:

$\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4\cdot 5}{25}=\frac{20}{25}$.

В результате умножения получили сократимую дробь $\frac{20}{25}$ (признак делимости на $5$). Выполним ее сокращение:

$\frac{20}{25}=\frac{20\div 5}{25\div 5}=\frac{4}{5}$.

Краткая запись решения:

$\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4\cdot 5}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4}{5}$.

Замечание 7

Если умножаемая дробь сократима или натуральное число и знаменатель дроби имеют общий делитель, можно выполнить сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители и сократив одинаковые множители числителя и знаменателя.

Пример 6

Вычислить произведение $\frac{6}{42}\cdot 49$.

Решение.

Используя правило умножения дроби на число, найдем:

$\frac{6}{42}\cdot 49=\frac{6\cdot 49}{42}$.

Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители:

$\frac{6\cdot 49}{42\cdot 9}=\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{7}{1}=7$.

Ответ: $1$.

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительное свойство:

Замечание 8

При изменении мест множителей их произведение не изменится:

$\frac{a}{b}\cdot n=n\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис