Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифм произведения

Содержание статьи
Теорема 1

Логарифм произведения двух чисел $x$ и $y$ равен сумме логарифмов этих чисел при условии, что $x, y, a$ – положительные числа и $a \ne 1$:

$\log_{a}⁡(x \cdot y)=\log_{a}⁡x+\log_{a}⁡y$.

Докажем данную теорему:

Возьмем два положительных числа $х$ и $у$. Примем $\log_{a}⁡x=k$, $\log_{a}⁡y=l$. Тогда $x=a^k$ и $y=a^l$. Найдем их произведение:

$x \cdot y=a^k \cdot a^l=a^{k+l}$.

Из выражения $x \cdot y=a^{k+l}$ получим $k+l=\log_{a}⁡(x \cdot y)$.

Т.к. $k=\log_{a}⁡x$, $l=\log_{a}⁡y$, тогда $\log_{a}⁡(x \cdot y)=\log_{a}⁡x+\log_{a}⁡y$.

Формула логарифма произведения применяется для упрощения вычисления логарифмов.

Пример 1

$\log_{11}⁡21=\log_{11}⁡(3 \cdot 7)=\log_{11}⁡3+\log_{11}⁡7$;

$\log_{1,8}1,8 \sqrt{11}=\log_{1,8}⁡1,8+\log_{1,8} \sqrt{11}=1+\log_{1,8} \sqrt{11}$.

Формула логарифма произведения

Теорема 2

Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:

$\log_{a}⁡(x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n )=\log_{a}x_1+\log_{a}x_2+ \cdots +\log_{a}x_n$

при $a, x_1, x_2, \cdots, x_n > 0$ , $a \ne 1$.

Пример 2

$\lg⁡(12\sqrt{3} y)=\lg⁡12+\lg\sqrt{3}+\lg⁡y$.

Замечание 1

Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.

Пример 3

Вычислить $\log_{13}⁡2197$.

Решение.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_{13}⁡2197=\log_{13}⁡(13 \cdot 13 \cdot 13)=\log_{13}⁡13+\log_{13}⁡13+\log_{13}⁡13=3 \log_{13}13=3 \cdot 1=3$.

Ответ: $\log_{13}⁡2197=3$.

Готовые работы на аналогичную тему

Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.

Пример 4

Вычислить $\log_{7}49 \sqrt[3]{49}$.

Решение.

Применим теорему о логарифме произведения:

$\log_{7}49 \sqrt[3]{49}=\log_{7}⁡49+\log_{7} \sqrt[3]{49}=$

подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:

$=\log_{7}7^2+\log_{7}7^{\frac{2}{3}}=$

показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:

$=2 \log_{7}⁡7+\frac{2}{3} log_{7}⁡7=2+\frac{2}{3}=2 \frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{7}49 \sqrt[3]{49}=2 \frac{2}{3}$.

Сумма логарифмов

Верным будет и обратное определение:

Теорема 3

Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма произведения подлогарифмических выражений:

$\log_{a}⁡x+\log_{a}⁡y=\log_{a}⁡(x \cdot y)$

при $x, y, a > 0$, $a \ne 1$.

Пример 5

Упростить выражение $\log_{11}⁡8+\log_{11}⁡20$.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

$\log_{11}⁡8+\log_{11}⁡20=\log_{11}⁡(8 \cdot 20)=\log_{11}⁡160$.

Ответ: $\log_{11}⁡8+\log_{11}⁡20=\log_{11}⁡160$.

Пример 6

Упростить выражение $\log_{39}3+\log_{39}13$.

Решение.

Применив формулу суммы логарифмов и воспользовавшись свойством $\log_{a}⁡a=1$, получим:

$\log_{39}⁡3+\log_{39}⁡13=\log_{39}⁡(3 \cdot 13)=\log_{39}⁡39=1$.

Ответ: $\log_{39}⁡3+\log_{39}⁡13=1$.

Пример 7

Упростить выражение $\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡72$.

Решение.

По формуле суммы логарифмов:

$\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡72=\log_{12}⁡(2 \cdot 72)=\log_{12}⁡144=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $12$ в определенной степени:

$=\log_{12}12^2=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=2 \log_{12}⁡12=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=2 \cdot 1=2$.

Ответ: $\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡72=2$.

Пример 8

Упростить выражение $\log_{4}⁡32+\log_{4}⁡128$.

Решение.

Согласно сумме логарифмов:

$\log_{4}⁡32+\log_{4}⁡128=\log_{4}⁡(32 \cdot 128)=\log_{4}⁡4096=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $4$ в определенной степени:

$=\log_{4}4^6=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=6 \log_{4}⁡4=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=6 \cdot 1=6$.

Ответ: $\log_{4}⁡32+\log_{4}⁡128=6$.

Пример 9

Упростить выражение $\log_{7}⁡98+\log_{7}\frac{1}{2}$.

Решение.

Используем формулу суммы логарифмов:

$\log_{7}⁡98+\log_{7}\frac{1}{2}=\log_{7}⁡(98 \cdot \frac{1}{2})=\log_{7}⁡49=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $7$ в определенной степени:

$=\log_{7}7^2=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=2 \log_{7}⁡7=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=2 \cdot 1=2$.

Ответ: $\log_{7}⁡98+\log_{7}\frac{1}{2}=2$.

Пример 10

Упростить выражение $\frac{\log_{8}⁡4+\log_{8}⁡16}{\log_{6}⁡16+\log_{6}⁡81}$.

Решение.

Применим к числителю и знаменателю формулу суммы логарифмов:

$\frac{\log_{8}⁡4+\log_{8}⁡16}{\log_{6}⁡16+\log_{6}⁡81}=\frac{\log_{8}⁡(4 \cdot 6)}{\log_{6}⁡(16 \cdot 81)} =\frac{\log_{8}⁡64}{\log_{6}⁡1296} =$

запишем подлогарифмическое выражение в числителе как основание логарифма $8$ в определенной степени, а в знаменателе – как основание логарифма 6 в определенной степени:

$=\frac{\log_{8}8^2}{\log_{6}6^4} =$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=\frac{2 \log_{8}⁡8}{4 \log_{6}⁡6}=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{\log_{8}⁡4+\log_{8}⁡16}{\log_{6}⁡16+\log_{6}⁡81}=\frac{1}{2}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис