Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Десятичный логарифм

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Десятичный логарифм

Определение 1

Десятичным логарифмом называют логарифм, который имеет в основании число $10$.

Десятичный логарифм вматематике принято обозначать $\lg$:

$\lg ⁡a=\log_{10}⁡a$.

Название десятичного логарифма происходит именно от его основания, которое равняется десяти.

Иногда можно встретить следующее обозначение десятичного логарифма:

$\log ⁡a$.

Замечание 1

Согласно определению логарифма можно сделать вывод, что десятичный логарифм $\lg ⁡a$ является решением показательного уравнения $10^b=a$.

Свойства десятичного логарифма

  1. Т.к. логарифм по любому основанию от $1$ равен $0$, то и десятичный логарифм единицы равен $0$:

    $\lg ⁡1=0$.

  2. Десятичный логарифм от числа $10$ равен единице:

    $\lg ⁡10=1$.

  3. Десятичный логарифм произведения двух чисел равен сумме десятичных логарифмов от этих чисел:

    $\lg ⁡(ab)=\lg ⁡a+\lg ⁡b$.

  4. Десятичный логарифм частного двух чисел равен разнице десятичных логарифмов этих чисел:

    $\lg \frac{a}{b}=\lg ⁡a-\lg ⁡b$.

  5. Десятичный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на десятичный логарифм подлогарифмического числа:

    $\lg⁡ a^s=s \cdot \lg ⁡a$.

Пример 1

Упростить выражение $\frac{2 \lg ⁡40-\lg ⁡16}{\lg ⁡50-\frac{1}{2} \lg ⁡25}$.

Решение.

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$\frac{2 \lg ⁡40-\lg ⁡16}{\lg ⁡50-\frac{1}{2} \lg ⁡25}=\frac{2(\lg ⁡4+\lg ⁡10 )-\lg 4^2}{\lg ⁡5+\lg ⁡10-\frac{1}{2} \lg 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\lg ⁡10=1$:

$=\frac{2 \lg ⁡4+2-2 \lg ⁡4}{\lg ⁡5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \lg ⁡5}=\frac{2}{\lg ⁡5+1-\lg ⁡5}=2$.

Ответ: $\frac{2 \lg ⁡40-\lg ⁡16}{\lg ⁡50-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Вычислить значение логарифмического выражения $\lg ⁡200+\lg \frac{1}{20}$.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

$\lg ⁡200+\lg \frac{1}{20}=\lg ⁡(200 \cdot \frac{1}{20})=\lg ⁡10=1$.

Ответ: $\lg ⁡200+\lg \frac{1}{20}=1$.

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \ln \frac{1}{e^2}+3 \lg ⁡10000$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$2 \ln \frac{1}{e^2}+3 \lg ⁡10000=2 \ln e^{-2}+3 \lg 10^4=2 \cdot (-2) \ln ⁡e+3 \cdot 4 \lg ⁡10=-4 \ln ⁡e+12 \lg ⁡10=$

теперь применим свойство логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому числу:

$=-4 \cdot 1+12 \cdot 1=8$.

Ответ: $2 \ln \frac{1}{e^2}+3 \lg ⁡10000=8$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $\lg \frac{1}{8}-3 \lg ⁡4$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$\lg \frac{1}{8}-3 \lg ⁡4=\lg 2^{-3}-3 \lg⁡ 2^2=-3 \lg ⁡2-3 \cdot 2 \lg ⁡2=-9 \lg ⁡2$.

Ответ: $\lg \frac{1}{8}-3 \lg ⁡4=-9 \lg ⁡2$.

Пример 5

Вычислить значение логарифмического выражения $3 \lg ⁡0,09-2 \lg ⁡27$.

Решение.

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 \lg \frac{9}{10^2}-2 \lg ⁡27=3 \lg (\frac{3}{10})^2-2 \lg 3^3=3 \cdot 2 \lg \frac{3}{10}-2 \cdot 3 \lg ⁡3=6 \lg \frac{3}{10}-6 \lg ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\lg ⁡3-\lg ⁡10 )-6 \lg ⁡3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \lg ⁡3-6 \lg ⁡10-6 \lg ⁡3=-6$.

Ответ: $3 \lg ⁡0,09-2 \lg ⁡27=-6$.

Пример 6

Упростить логарифмическое выражение $\lg ⁡0,81-2 \lg ⁡9$.

Решение.

Применим ко второму логарифму свойство логарифма степени, внеся число $2$ под знак логарифма:

$\lg ⁡0,81-\lg 9^2=\lg ⁡0,81-\lg ⁡81=$

применим формулу разности логарифмов:

$=\lg \frac{0,81}{81}=\lg ⁡0,01=$

запишем число под знаком логарифма как $10$ в степени:

$=\lg 10^{-2}=$

применим формулу логарифма степени:

$=-2 \lg ⁡10=-2$.

Ответ: $\lg ⁡0,81-2 \lg ⁡9=-2$.

Пример 7

Вычислить значение логарифмического выражения $\frac{2 \lg ⁡2-\lg ⁡16}{\lg 4+\lg ⁡16}$.

Решение.

Внесем число $2$ в числителе под знак логарифма:

$\frac{2 \lg ⁡2-\lg ⁡16}{\lg 4+\lg ⁡16}=\frac{\lg 2^2-\lg ⁡16}{\lg 4+\lg ⁡16}=$

применим формулы разности и суммы логарифмов:

$=\frac{\lg \frac{4}{16}}{\lg⁡ (4 \cdot 16)} =\frac{\lg \frac{1}{4}}{\lg ⁡64} =$

применим формулу логарифма степени, записав число под знаком логарифма как число $4$ в степени:

$=\frac{\lg 4^{-1}}{\lg 4^3} =\frac{-\lg ⁡4}{3 \lg ⁡4}=-\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{2 \lg ⁡2-\lg ⁡16}{\lg 4+\lg ⁡16} =-\frac{1}{3}$.

Пример 8

Преобразовать логарифмическое выражение $\lg \frac{100}{e}$.

Решение.

Применим формулу логарифма частного:

$\lg \frac{100}{e}=\lg ⁡100-\lg ⁡e=$

к первому логарифму применим формулу логарифма степени:

$=\lg 10^2-\lg ⁡e=2 \lg ⁡10-\lg ⁡e=$

применив свойство значения логарифма с одинаковым основанием и подлогарифмическим числом, получим:

$=2 \cdot 1-\lg ⁡e=2-\lg ⁡e$.

Ответ: $\lg \frac{100}{e}=2-\lg ⁡e$.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис