Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифм частного

Содержание статьи

Логарифм частного

Теорема 1

Логарифм частного двух чисел $х$ и $у$ представляет собой разность логарифмов этих чисел при условии, что $a, x, y$ – положительные числа и $a \ne 1$:

$\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}⁡x-\log_{a}⁡y$.

Докажем данную теорему:

Возьмем два положительных числа $х$ и $у$. Примем $\log_{a}⁡x=k$, $\log_{a}⁡y=l$. Тогда $x=a^k$ и $y=a^l$. Найдем их частное:

$\frac{x}{y}=\frac{a^k}{a^l} =a^{k-l}$.

Из выражения $\frac{x}{y}=\frac{a^k}{a^l} =a^{k-l}$ получим $k-l=\log_{a}\frac{x}{y}$.

Т.к. $k=\log_{a}⁡x$, $l=\log_{a}⁡y$, то $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}⁡x-\log_{a}⁡y$.

Формула логарифма частного применяется для упрощения вычисления логарифмов.

Пример 1

$\log_{11}\frac{8}{13}=\log_{11}⁡8-\log_{11}⁡13$;

$\log_{9}\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\log_{9}⁡1-\log_{9}\sqrt[3]{2}=0-\log_{9}\sqrt[3]{2}=-\log_{9}\sqrt[3]{2}$;

$\log_{9}\frac{9}{x}=\log_{9}⁡9-\log_{9}⁡x=1-\log_{9}⁡x$.

Замечание 1

Логарифм частного применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.

Пример 2

Вычислить $\log_{13}\frac{13}{\sqrt[3]{13}}$.

Решение.

Применим свойство логарифма частного:

$\log_{13}\frac{13}{\sqrt[3]{13}}=\log_{13}⁡13-\log_{13}\sqrt[3]{13}=$

к первому логарифму применим свойство $\log_{a}⁡a=1$, а во втором логарифме запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $13$ в определенной степени:

$=1-\log_{13}13^{\frac{1}{3}}=1-\frac{1}{3} \log_{13}13=1-\frac{1}{3} \cdot 1=\frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{13}\frac{13}{\sqrt[3]{13}}=\frac{2}{3}$.

Пример 3

Вычислить $\log_{4}\frac{4}{n}$, если известно, что $\log_{4}⁡n=18$.

Решение.

Применим формулу логарифма частного:

$\log_{4}\frac{4}{n}=\log_{4}⁡4-\log_{4}⁡n=1-18=-17$.

Ответ: $\log_{4}\frac{4}{n}=-17$.

Готовые работы на аналогичную тему

Разница логарифмов

Верным будет и обратное определение:

Теорема 2

Разницу логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма частного подлогарифмических выражений:

$\log_{a}⁡x-\log_{a}⁡y=\log_{a}\frac{x}{y}$

при положительных $a, x, y$, $a \ne 1$.

Пример 4

Упростить выражение $\log_{11}⁡8-\log_{11}⁡20$.

Решение.

Применим определение разности логарифмов:

$\log_{11}⁡8-\log_{11}⁡20=\log_{11}\frac{8}{20}=\log_{11}\frac{2}{5}=\log_{11}⁡0,4$.

Ответ: $\log_{11}⁡8-\log_{11}⁡20=\log_{11}⁡0,4$.

Пример 5

Упростить выражение $\log_{15}⁡6750-\log_{15}⁡2$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$\log_{15}⁡6750-\log_{15}⁡2=\log_{15}\frac{6750}{2}=\log_{15}⁡3375=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $15$ в определенной степени:

$=\log_{15}15^3=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=3 \log_{15}⁡15=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=3 \cdot 1=3$.

Ответ: $\log_{15}⁡6750-\log_{15}⁡2=3$.

Пример 6

Упростить выражение $\log_{3}⁡54-\log_{3}⁡2$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$\log_{3}⁡54-\log_{3}⁡2=\log_{3}\frac{54}{2}=\log_{3}⁡27=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $3$ в определенной степени:

$=\log_{3}3^3=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=3 \log_{3}⁡3=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=3 \cdot 1=3$.

Ответ: $\log_{3}⁡54-\log_{3}⁡2=3$.

Пример 7

Упростить выражение $\log_{4}⁡192-\log_{4}⁡3$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$\log_{4}⁡192-\log_{4}⁡3=\log_{4}\frac{192}{3}=\log_{4}⁡64=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $4$ в определенной степени:

$=\log_{4}4^3=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=3 \log_{4}⁡4=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=3 \cdot 1=3$.

Ответ: $\log_{4}⁡192-\log_{4}⁡3=3$.

Пример 8

Упростить выражение $\log_{7}⁡147-\log_{7}⁡3$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$\log_{7}⁡147-\log_{7}⁡3=\log_{7}\frac{147}{3}=\log_{7}⁡49=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $7$ в определенной степени:

$=\log_{7}7^2=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=2 \log_{7}⁡7=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=2 \cdot 1=2$.

Ответ: $\log_{7}⁡147-\log_{7}⁡3=2$.

Пример 9

Упростить выражение $\log_{1,5}⁡50,625-\log_{1,5}⁡10$.

Решение.

Согласно формуле разности логарифмов:

$\log_{1,5}⁡50,625-\log_{1,5}⁡10=\log_{1,5}\frac{50,625}{10}=\log_{1,5}⁡5,0625=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $1,5$ в определенной степени:

$=\log_{1,5}1,5^4=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=4 \log_{1,5}⁡1,5=$

воспользуемся свойством $\log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=4 \cdot 1=4$.

Ответ: $\log_{1,5}⁡50,625-\log_{1,5}⁡10=4$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис