Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы производных

Содержание статьи

Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке. На рисунке 1 изображена производная функции на координатной плоскости.

Производная функции

Рисунок 1. Производная функции

Формулы нахождения производной

1) Производная постоянного значения равна 0

Пример 1

Найти производную

\[y=3\]

Решение:

\[y'=3'=0\]

2) Производная неизвестной величины равна единице

\[x'=1\]

3) Если выражение содержит постоянную величину -- ее необходимо вынести за знак предела.

\[y'=\left(c\cdot f\left(x\right)\right)^{{'} } =c\cdot f'\left(x\right)\]
Пример 2

Найти производную

\[y=3x\]

Решение:

\[y'=\left(3x\right)^{{'} } =3x'=3\cdot 1=3\]

4) Производная степенной функции находится как произведение значения степени на степенное выражение, степень которого уменьшена на 1.

\[y'=\left(x^{n} \right)^{{'} } =n\cdot x^{n-1} \]
Пример 3

Найти производную

\[y=2x^{5} \]

Решение:

\[y'=\left(2x^{5} \right)^{{'} } =2(x^{5} )'=2\cdot 5\cdot x^{5-1} =10\cdot x^{4} \]

5) Производная экспоненты равна самой экспоненте

6) Производная числа в степени х равна произведения данного выражения на логарифм числа:

\[y'=\left(a^{x} \right)^{{'} } =a^{x} \cdot \log a\]
Пример 4

Найти производную

\[y=10^{x} \]

Решение:

\[y'=\left(10^{x} \right)^{{'} } =10^{x} \cdot \log 10=10^{x} \cdot 1=10^{x} \]

Готовые работы на аналогичную тему

7) Производная sinx равна cosx

8) Производная cosx равна --sinx

9) Производная тангенса равна частному единицы и квадратному косинусу х

\[y'=\left(tgx\right)^{{'} } =\frac{1}{\cos ^{2} x} \]

10) Производная котангенса равна частному минус единицы и квадратному синусу х

\[y'=\left(ctgx\right)^{{'} } =-\frac{1}{\sin ^{2} x} \]

11) Производная арксинуса равна:

\[y'=\left(\arcsin x\right)^{{'} } =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]

12) Производная арккосинуса равна:

\[y'=\left(\arccos x\right)^{{'} } =-\frac{1}{1-x^{2} } \]

13) Производная арктангенса равна:

\[y'=\left(arctgx\right)^{{'} } =\frac{1}{1+x^{2} } \]

14) Производная арккотангенса противоположна производной арктангенса и равна:

\[y'=\left(arctgx\right)^{{'} } =-\frac{1}{1+x^{2} } \]

15) Производная суммы функций равна сумме их производных:

\[\left(x+y+...+z\right)^{{'} } =x'+y'+...+z'\]
Пример 5

Найти производную

\[y=10^{x} \]

Решение:

\[y'=\left(10^{x} \right)^{{'} } =10^{x} \cdot \log 10=10^{x} \cdot 1=10^{x} \]

16) Производная произведения нескольких функций равна:

$y' = (fx1 \cdot fx2 \cdot \dots \cdot fxn) = fx'1fx2fx3\dots fxn + fx1fx'2fx3\dots fxn + \dots + fx1fx2fx3\dots fx'n$

17) Производная частного вычисляется по формуле:

\[y'=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{f\left(x\right)^{{'} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{'} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \]
Пример 6

Найти производную

\[y=\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\cdot ctgx\]

Решение:

\[y'=\left(\sin x\cdot \cos x\cdot tgx\right)^{{'} } =\sin x'\cdot \cos x\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x'\cdot tgx+\sin x\cdot \cos x\cdot tgx'=y'=\cos x\cdot \cos x\cdot tgx-\sin x\cdot \sin x\cdot tgx+\sin x\cdot \frac{\cos x}{\cos ^{2} x} =\cos ^{2} x\cdot tgx-\sin x^{2} \cdot tgx+\frac{\sin x}{\cos x} =\] \[y'=tgx\left(\cos ^{2} x-\sin x^{2} \right)+tgx=tgx+tgx=2tgx\]
Пример 7

Найти производную

\[y=\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \]

Решение:

\[y'=\left(\frac{2x^{2} -3}{x^{3} } \right)^{{'} } =\frac{x^{3} \cdot \left(2x^{2} -3\right)^{{'} } -\left(x^{3} \right)^{{'} } \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3} \right)^{2} } =\frac{x^{3} \cdot 4x-3x^{2} \cdot \left(2x^{2} -3\right)}{\left(x^{3*2} \right)^{} } =\frac{4x^{4} -6x^{4} -9x^{2} }{x^{3*2} } =\] \[y'=\frac{-2x^{4} -9x^{2} }{x^{5} } =\frac{-x^{2} (2x^{2} +9)}{x^{3*2} } =-\frac{2x^{2} +9}{x^{3} } \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис