Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Таблица основных формул дифференцирования

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Таблица основных формул дифференцирования
Таблица основных формул дифференцирования
Определение

Дифференцирование -- это определение производной.

Таблица 1

Основные формулы дифференцирования

Основные формулы дифференцирования

Пример 1

По формулам дифференцирования найти производную функции

Решение.

  1. Вынесем числовой множитель за знак производной
  2. \[y'=\left(\frac{3x^{8} }{24} \right){{'} } =\frac{3}{24} \left(x^{8} \right){{'} } \]
  3. Найдем производную функции в степени по формуле:
  4. \[\left(x^{n} \right){{'} } =n\cdot x^{n-1} \] \[y'=\frac{3}{24} \left(x^{8} \right){{'} } =\frac{3}{24} \cdot 8\cdot x^{8-1} =\frac{24}{24} \cdot x^{7} =x^{7} \]
Пример 2

По формулам дифференцирования найти производную функции в точке х=0.

\[y=\frac{4arcctgx}{6} \]

Решение.

  1. Вынесем числовой множитель за знак производной
  2. \[y'=\left(\frac{4arcctgx}{6} \right){{'} } =\frac{4}{6} arcctgx'\]
  3. Найдем производную тригонометрической функции по формуле:
  4. \[\left(arcctgx\right){{'} } =\frac{1}{1+x^{2} } \] \[y'=\frac{4}{6} arcctgx'=\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } \]
  5. Заменим х числом 0 (по условию)
  6. \[y(0)'=\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } =\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{1+0} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3} \]
Пример 3

По формулам дифференцирования найти производную функции в точке х=1/12

\[y=-2e^{12x} \]

Решение.

  1. Вынесем числовой множитель за знак производной
  2. \[y'=\left(-2e^{12x} \right){{'} } =-2\left(e^{12x} \right){{'} } \]
  3. Найдем производную функции по формуле:
  4. \[e^{x} {{'} } =e^{x} \] \[y'=-2\left(e^{12x} \right){{'} } =-2e^{12x} \]
  5. Заменим х числом 1/12 (по условию)
  6. \[y'=-2e^{12x} =-2e^{12\cdot \frac{1}{12} } =-2e\]
Пример 4

По формулам дифференцирования найти производную функции в точке х=$\pi $

\[y=8\sin x-\cos x\]

Решение.

  1. Найдем производную каждого члена функции
  2. \[y'=\left(8\sin x-\cos x\right){{'} } =8\left(\sin x\right){{'} } -\left(\cos x\right){{'} } =\]
  3. Найдем производные по формулам:
  4. \[\sin x'=\cos x\] \[\cos x'=-\sin x\] \[y'=8\left(\sin x\right){{'} } -\left(\cos x\right){{'} } =8\cos x-(-\sin x)=8\cos x+\sin x\]
  5. Заменим х значением $\pi $ (по условию)
  6. \[y'=8\cos \pi +\sin \pi =8\cdot \left(-1\right)+0=-8\]
Пример 5

По формулам дифференцирования найти производную функции

\[y=\frac{1}{\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]

Решение.

  1. Представим корень в виде степени функции $х$
  2. \[y`=\left(x^{-\frac{2}{3} } \right){{'} } \]
  3. Вычислим производную степени функции по формуле:
  4. \[\left(x^{n} \right){{'} } =n\cdot x^{n-1} \] \[y'=-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} -1} =-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} -\frac{3}{3} } =-\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3} } =-\frac{2}{3x\sqrt[{3}]{x^{2} } } \]