Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Таблица производных сложных функций

Все предметы / Математика / Производная и дифференциал / Таблица производных сложных функций
Определение

Сложная функция -- это функция, аргументом которой является другая функция.

Сложная функция обозначается $f(g(x))$, где $g(x)$ -- функция аргумент f.

Базовая формула нахождения производной сложной функции:

\[f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Таблица 1

Производные сложных функций

Производные сложных функций

Пример 1

Вычислить производную сложной функции

\[y=\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} \]

Решение.

  1. По табличной формуле:
  2. \[\left(\sqrt{f(x)} \right){{'} } =\frac{1}{2\sqrt{f(x)} } \cdot f'(x)\]

    Распишем производную сложной функции

    \[y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot \left(x^{3} -x^{2} -1\right){{'} } \]
  3. Найдем производную второго слагаемого
  4. \[y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot \left(x^{3} -x^{2} -1\right){{'} } =\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot 3x^{2} -2x=\frac{3x^{2} -2x}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \]

Итогом вычисления станет запись вида:

\[y'=\left(\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} \right){{'} } =\frac{3x^{2} -2x}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \]
Пример 2

Вычислить производную сложной функции

\[y=\ln (4x^{2} -8)\]

Решение.

  1. По табличной формуле:
  2. \[\left(\ln f(x)\right){{'} } =\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\]

    Распишем производную сложной функции

    \[y'=\frac{1}{4x^{2} -8} \cdot \left(4x^{2} -8\right){{'} } \]
  3. Найдем производную вложенной функции
  4. \[y'=\frac{1}{4x^{2} -8} \cdot \left(4x^{2} -8\right){{'} } =\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} \]
  5. Упростим дробь. Для этого вынесем число 4 в числителе и знаменателе
  6. $y'=\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} =\frac{4\cdot 2x}{4\left(x^{2} -2\right)} =\frac{2E}{\left(x^{2} -2\right)} $$y'=\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} =\frac{4\cdot 2x}{4\left(x^{2} -2\right)} =\frac{2E}{\left(x^{2} -2\right)} $

Пример 3

Вычислить производную сложной функции

\[y=\sin (x^{5} -ctg^{2} x)\]

Решение.

  1. Запишем формулу производной тригонометрической функции:
  2. \[\left(\sin f(x)\right){{'} } =\cos f(x)\cdot f'(x)\]

    Распишем производную сложной функции

    \[y'=\sin (x^{5} -ctg^{2} x)'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (x^{5} -ctg^{2} x)'\]
  3. По правилу производной разности
  4. \[y'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (x^{5} -ctg^{2} x)'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (5x^{4} +\frac{2ctgx}{\sin ^{2} x} )\]
Пример 4

Вычислить производную сложной функции

\[y=e^{arctgx} \]

Решение.

  1. Запишем формулу производной тригонометрической функции:
  2. \[\left(e^{f(x)} \right){{'} } =e^{f(x)} \cdot f'(x)\]

    Распишем производную сложной функции

    \[y'=\left(e^{arctgx} \right){{'} } =e^{arctgx} \cdot \left(arctgx\right){{'} } \]
  3. Найдем производную второго слагаемого и упростим выражение
  4. \[y'=e^{arctgx} \cdot \left(arctgx\right){{'} } =e^{arctgx} \cdot \frac{1}{1+x^{2} } =\frac{e^{arctgx} }{1+x^{2} } \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис