Сложная функция -- это функция, аргументом которой является другая функция.
Сложная функция обозначается $f(g(x))$, где $g(x)$ -- функция аргумент f.
Базовая формула нахождения производной сложной функции:
\[f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]Таблица 1
Производные сложных функций
Вычислить производную сложной функции
\[y=\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} \]Решение.
Распишем производную сложной функции
\[y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \cdot \left(x^{3} -x^{2} -1\right){{'} } \]Итогом вычисления станет запись вида:
\[y'=\left(\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} \right){{'} } =\frac{3x^{2} -2x}{2\sqrt{x^{3} -x^{2} -1} } \]Вычислить производную сложной функции
\[y=\ln (4x^{2} -8)\]Решение.
Распишем производную сложной функции
\[y'=\frac{1}{4x^{2} -8} \cdot \left(4x^{2} -8\right){{'} } \]$y'=\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} =\frac{4\cdot 2x}{4\left(x^{2} -2\right)} =\frac{2E}{\left(x^{2} -2\right)} $$y'=\frac{4\cdot 2x}{4x^{2} -8} =\frac{4\cdot 2x}{4\left(x^{2} -2\right)} =\frac{2E}{\left(x^{2} -2\right)} $
Вычислить производную сложной функции
\[y=\sin (x^{5} -ctg^{2} x)\]Решение.
Распишем производную сложной функции
\[y'=\sin (x^{5} -ctg^{2} x)'=\cos (x^{5} -ctg^{2} x)\cdot (x^{5} -ctg^{2} x)'\]Вычислить производную сложной функции
\[y=e^{arctgx} \]Решение.
Распишем производную сложной функции
\[y'=\left(e^{arctgx} \right){{'} } =e^{arctgx} \cdot \left(arctgx\right){{'} } \]