Производные различных порядков
Производные различных порядков -- производные первого и высших порядков.
Дифференцируя производную первого порядка f`(x) мы получим производную от производной -- производную второго порядка.
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка, а производная n-го порядка называется производной от производной n-1го порядка.
Производная второго порядка обозначается y'' или f''(x). Таким образом, дифференцируя функцию, n-раз получим производную вида f n(x).
Формула дифференцирования второго порядка
Формула дифференцирования второго порядка имеет вид:
\[f''(x)=\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =\mathop{\lim }\limits_{x\to x0} \frac{f'(x)-f'(x_{0} )}{x-x_{0} } =\left(f'(x)\right){{'} } \]Производная n-го порядка равна нулю, если степень меньше порядка производной. Например, пятая производная функции y = 5x2 равна нулю
Таблица производных высших порядков
- Найдем производную первого порядка сложной функции по формуле произведения: \[\left[f(x)\cdot g(x)\right]{{'} } =f(x)'\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)'\] \[y'=\left[x\cdot \ln (2x+1)\right]{{'} } =x'\cdot \ln (2x+1)+x\cdot \left(\ln (2x+1)\right){{'} } =1\cdot \ln (2x+1)+x\cdot \left(\ln (2x+1)\right){{'} } =\] \[y'=\ln (2x+1)+x\cdot \left(\ln (2x+1)\right){{'} } =\ln (2x+1)+x\cdot \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)'=\] \[=\ln (2x+1)+2x\cdot \frac{1}{2x+1} =\ln (2x+1)+\frac{2x}{2x+1} \]
- Найдем производную второго порядка для выражения \[y''=\left(\ln (2x+1)+\frac{2x}{2x+1} \right){{'} } =\ln (2x+1)'+\left(\frac{2x}{2x+1} \right){{'} } =\frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)'+\frac{2x'\cdot (2x+1)-2x\cdot (2x+1)'}{\left(2x+1\right)^{2} } =\] \[y''=\frac{2}{2x+1} +\frac{2(2x+1)-2x\cdot 2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{2}{2x+1} +\frac{2((2x+1)-2x)}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{2}{2x+1} +\frac{2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\]
- Упростим выражение \[y''=\frac{2\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^{2} } +\frac{2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{2\left(2x+1\right)+2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{4x+4}{\left(2x+1\right)^{2} } \]
Найти производную четвертого порядка
\[y=x^{5} -x^{4} +3x^{3} \]Решение.
- Найдем производную первого порядка \[y'=\left(x^{5} -x^{4} +3x^{3} \right){{'} } =5x^{4} -4x^{3} +3\cdot 3x^{2} =5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} \]
- Найдем производную второго порядка \[y''=\left(5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} \right){{'} } =20x^{3} -12x^{2} +18x\]
- Найдем производную третьего порядка \[y'''=\left(20x^{3} -12x^{2} +18x\right){{'} } =60x^{2} -24x+18\]
- Найдем производную четвертого порядка \[y''''=\left(60x^{2} -24x+18\right){{'} } =120x-24\]
Найти производную четвертого порядка функции
\[y=\frac{x^{2} +5x^{3} }{18} \]Решение: Самая большая степень составного неизвестного равна 3, что меньше степени производной, а значит производная четвертого порядка равна 0.
Найти производную 13 порядка функции
\[y=\sin x\]Решение.
- Найдем производную первого порядка \[y'=sin'x=\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную второго порядка \[y''=cos'x=-\sin x=\sin (x+2\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную третьего порядка \[y'''=-sin'x=-\cos x=\sin (x+3\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную четвертого порядка \[y^{(4)} =-\cos x'=\sin x=\sin (x+4\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную 13 порядка: \[y^{(13)} =\sin (x+\frac{13\cdot \pi }{2} )=\cos x\]
Таким образом:
\[y^{(n)} =\sin (x+\frac{n\cdot \pi }{2} ),n\in N\]
Вычислить производную четвертой степени функции $x^{8}$
Решение.
Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка
\[\left(x^{p} \right)^{(n)} =p(p-1)(p-2)...(p-n+1)x^{p-n} \]где p = 8, n = 4
\[\left(x^{8} \right)^{(4)} =8(8-1)(8-2)(8-4+1)x^{8-4} =8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot x^{4} =1680x^{4} \] \[\left(x^{8} \right)^{(4)} =1680x^{4} \]
