Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифм степени

Содержание статьи

Логарифм степени основания

Определение 1

Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:

$\log_{a}⁡a^s=s$

при $a > 0$, $a \ne 1$,

$s$ – любом числе.

Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.

Пример 1

$\log_{11}⁡{11^8}=8$;

$\lg⁡10^{-17}=-17$;

$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.

Логарифм степени числа

Определение 2

Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:

$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}⁡|x|$

при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.

Пример 2

Найти значение выражения $\log_{5}⁡\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121$.

Решение.

Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:

$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}⁡5+2\log_{11}⁡11=$

воспользуемся равенством $\log_{a}⁡a=1$:

$=-3+2=-1$.

Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=-1$.

При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:

Определение 3

Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$s \log_{a}⁡x=\log_{a}x^s$

при $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 3

Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.

Решение.

Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:

$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=12 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=5 \log_{13}⁡x=$

внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:

$=\log_{13}x^5$.

Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.

Готовые работы на аналогичную тему

Логарифм корня

Определение 4

Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:

$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}⁡x$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 4

$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}⁡2$.

Пример 5

Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lg⁡x=\frac{5}{7}$.

Решение.

Используем свойство логарифма корня:

$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$

воспользуемся свойством логарифма произведения:

$\frac{1}{3} (\lg⁡10+\lg⁡x )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.

Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.

Также можно применять и обратное свойство:

Определение 5

Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 6

Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6$.

Решение.

Применим свойство логарифма корня:

$\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}⁡6=\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡6=$

используем свойство суммы логарифмов:

$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}⁡12=1$.

Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=1$.

При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:

$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.

Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.

Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.

Пример 7

Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.

Решение.

Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:

$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$

теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:

$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.

Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.

Пример 8

Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$.

Решение.

Применим свойство логарифма дроби:

$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}⁡16=$

к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:

$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}⁡x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$

подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:

$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.

Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис