Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Логарифмы и их свойства

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Логарифмы и их свойства

Понятие логарифма

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Обозначение: ${{log}_a b\ }$.

Из определения видим, что если число $b\le 0$, то оно не имеет действительного логарифма. Мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 1

Теорема о существовании действительного логарифма: Каждое действительное число $b >0$ имеет и только единственный действительный логарифм по основанию $a$ ($a >0,\ a\ne 1$).

Определение 2

Если в определении 1 положить $a=10$, то логарифм числа $b$ называется десятичным логарифмом числа $b$.

Обозначение: ${{log}_{10} b\ }=lgb$.

Определение 3

Если в определении 1 положить $a=e$, то логарифм числа $b$ называется натуральным логарифмом числа $b$.

Обозначение: ${{log}_e b\ }=lnb$.

Свойства логарифмов

Сразу из определения логарифма следует два основных свойства логарифмов.

  1. $a^{{{log}_a b\ }}=b$;

  2. ${{log}_a a^c\ }=c$.

    Рассмотрим другие свойства логарифмов.

  3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

    \[{{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }\]

    Доказательство.

    Используя первое свойство логарифмов и свойство суммы степеней, имеем:

    $a^{{{log}_a xy\ }}=xy$, $a^{{{log}_a x+{log}_ay\ }}=a^{{{log}_a x\ }}a^{{{log}_a y\ }}=xy$. Следовательно

    \[a^{{{log}_a xy\ }}=a^{{{log}_a x+{log}_ay\ }}\] \[{{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }\]
  4. ${{log}_a b^c\ }=c{{log}_a b\ }$

    Доказательство.

    ${{log}_a b^c\ }={{log}_a b\cdot b\cdot \dots \cdot b\ }$, где $b$ переумножается $c$ раз (по определению степени). Из свойства 3, имеем:

    \[{{log}_a b^c\ }={{log}_a b\ }+{{log}_a b\ }+\dots +{{log}_a b\ }\ \left(c\ раз\right)=c{{log}_a b\ }\]
  5. ${{log}_a \frac{1}{b}\ }=-{{log}_a b\ }$

    Доказательство.

    \[{{log}_a \frac{1}{b}\ }={{log}_a b^{-1}\ }\]

    По свойству 4, получим:

    \[{{log}_a \frac{1}{b}\ }={{log}_a b^{-1}\ }=-{{log}_a b\ }\]
  6. Логарифм частного равен разности логарифмов:

    \[{{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }\]

    Доказательство.

    Используя свойства 3 и 5, получим:

    \[{{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a \frac{1}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }\]
  7. Формула перехода к новому основанию:

    \[{{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}\]

    Доказательство.

    Используя первое и второе логарифмическое свойство, получим:

    \[{{log}_a c\ }={{log}_a b^{{{log}_b c\ }}\ }={{log}_b c\ }\cdot {log}_ab\] \[{{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}\]
  8. ${{log}_a b\ }=\frac{1}{{log}_ba}$

    Доказательство.

    Используя свойство 7, получим:

    \[{{log}_a b\ }=\frac{{log}_bb}{{log}_ba}=\frac{1}{{log}_ba}\]
  9. ${{log}_{a^n} b\ }=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }$

    Доказательство.

    Используя свойство 7 и 2, получим:

    \[{{log}_{a^n} b\ }=\frac{{log}_ab}{{log}_aa^n}=\frac{1}{n}{{log}_a b\ }\]

Модули перехода от одного логарифма к другому

Определение 4

Рассмотрим равенство ${{log}_b c\ }=\frac{{{log}_a c\ }}{{{log}_a b\ }}$. В этом равенстве $M=\frac{1}{{{log}_a b\ }}$ называется модулем перехода от логарифма по основанию $a$ к логарифму по основанию $b$.

\[{{log}_b c\ }=M{{log}_a c\ }\]

Для этого понятия можно выделить два частных случая:

  1. В равенстве $lgx=Mlnx$, число $M=\frac{1}{ln10}=lge\approx 0,(43)$ - называется модулем перехода от натурального логарифма к десятичному логарифму.

  2. В равенстве $lnx=Mlgx$, число $M=\frac{1}{lge}=ln10\approx 2,3026\dots $ - называется модулем перехода от десятичного логарифма к натуральному логарифму.

Пример задач на использование свойств логарифмов

Пример 1

Вычислить:

  1. $5\cdot 0,6^{\log _{0,6} 12} ;$

  2. $\log _{3} 15-\log _{3} 5+3^{\log _{3} 5} ;$

  3. $9^{\log _{9} 2} +\log _{5} \frac{1}{25} ;$

Решение.

  1. $5\cdot 0,6^{\log _{0,6} 12} ;$

    Используя основное свойство логарифмов (1), получим:

    \[5\cdot {0,6}^{{{log}_{0,6} 12\ }}=5\cdot 12=60\]
  2. $\log _{3} 15-\log _{3} 5+3^{\log _{3} 5} ;$

    Используя свойства 1 и 6, получим:

    \[{{log}_3 15\ }-{{log}_3 5\ }+3^{{{log}_3 5\ }}={{log}_3 \frac{15}{5}\ }+5={{log}_3 3\ }+5=1+5=6\]
  3. $9^{\log _{9} 2} +\log _{5} \frac{1}{25} ;$

    \[9^{{{log}_9 2\ }}+{{log}_5 \frac{1}{25}\ }=2+\left(-\frac{1}{2}\right)=1,5\]