Для начала вспомним, что из себя представляет натуральный логарифм числа х.
Натуральный логарифм — это логарифм, основанием которого является число $е$, иначе называемое числом Эйлера и приблизительно равное $2,71$.
В десятичном же логарифме основанием является число $10$.
Интеграл от натурального логарифма не является обычным табличным интегралом, поэтому для того чтобы узнать, чему равна первообразная от сложной функции lnx, необходимо воспользоваться формулой для частичного интегрирования, напомним её:
$\int udv=uv-\int vdu\left(1\right)$.
Зная эту формулу, её можно применить для интегрирования функции $y=\ln x$:
Пусть $dx=du$, тогда в качестве произведения $uv$ имеем $x\ln x$, а в качестве второго члена выражения имеем $\int x d \ln x$.
$\int \ln x dx = x \cdot \ln x - \int x d \ln x = x \cdot \ln x - \int dx=x \ln x + x + C= x(\ln x – 1) + C$.
$\int \ln x dx=x(\ln x – 1) + C$.
Найти первообразную от функции $x^5 \ln x$.
Решение:
Примем $\ln x= u$, a $dv=x^4dx$, тогда получается, что $du=\frac{dx}{x}, v=\frac{1}{6} x^6$.
Получаем:
$\int x^5 \ln x dx = \frac{1}{6} x^6 \ln x - \frac{1}{6} \int x^5 dx = \frac{1}{6} x^6 ln x - \frac{1}{36} x^6 + c$.
