Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Интеграл натурального логарифма

Все предметы / Математика / Интеграл натурального логарифма

Для начала вспомним, что из себя представляет натуральный логарифм числа х.

Определение 1

Натуральный логарифм — это логарифм, основанием которого является число $е$, иначе называемое числом Эйлера и приблизительно равное $2,71$.

В десятичном же логарифме основанием является число $10$.

Интеграл от натурального логарифма не является обычным табличным интегралом, поэтому для того чтобы узнать, чему равна первообразная от сложной функции lnx, необходимо воспользоваться формулой для частичного интегрирования, напомним её:

$\int udv=uv-\int vdu\left(1\right)$.

Зная эту формулу, её можно применить для интегрирования функции $y=\ln x$:

Пусть $dx=du$, тогда в качестве произведения $uv$ имеем $x\ln x$, а в качестве второго члена выражения имеем $\int x d \ln x$.

$\int \ln x dx = x \cdot \ln x - \int x d \ln x = x \cdot \ln x - \int dx=x \ln x + x + C= x(\ln x – 1) + C$.

$\int \ln x dx=x(\ln x – 1) + C$.

Пример 1

Найти первообразную от функции $x^5 \ln x$.

Решение:

Примем $\ln x= u$, a $dv=x^4dx$, тогда получается, что $du=\frac{dx}{x}, v=\frac{1}{6} x^6$.

Получаем:

$\int x^5 \ln x dx = \frac{1}{6} x^6 \ln x - \frac{1}{6} \int x^5 dx = \frac{1}{6} x^6 ln x - \frac{1}{36} x^6 + c$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис