Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Возведение комплексного числа в натуральную степень

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Возведение комплексного числа в натуральную степень
Возведение комплексного числа в натуральную степень

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Для чисел, представленных в алгебраической форме, возведение в $n$-ю степень осуществляется путем перемножения $n$ одинаковых сомножителей.

Определение 1

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Пример 1

Вычислить $n$-ю степень некоторого комплексного числа $z=1+2\cdot i$, где $n=2..4$.

Решение:

По определению операции умножения комплексных чисел в алгебраической форме получим:

Для $n=2$:

\[z^{2} =(1+2\cdot i)\cdot (1+2\cdot i)=1\cdot 1+2\cdot 1\cdot i+1\cdot 2\cdot i+2\cdot 2\cdot i^{2} =1+2i+2i-4=-3+4i\]

Для $n=3$:

$z^{3} =z^{2} \cdot (1+2\cdot i)=(-3+4i)\cdot (1+2\cdot i)=-3\cdot 1+4\cdot 1\cdot i-3\cdot 2\cdot i+4\cdot 2\cdot i^{2} =-3+4i-6i-8=-11-2i$

Для $n=4$:

\[\begin{array}{l} {z^{4} =z^{3} \cdot (1+2\cdot i)=(-11-2i)\cdot (1+2\cdot i)=-11\cdot 1-2\cdot 1\cdot i-11\cdot 2\cdot i-2\cdot 2\cdot i^{2} =-11-2i-22i+4=} \\ {=-7-24i} \end{array}\]
Определение 2

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]
Замечание 1

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{1} =z_{1}^{2} =r_{1} \cdot r_{1} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{1} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{1} )]=r_{1} ^{2} \cdot (\cos 2\varphi _{1} +i\sin 2\varphi _{1} ).\]
Определение 3

Степенью порядка $n$ ($n\in Z_{+} $) комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Замечание 2

Формулу из определения 3 легко получить из формулы приведенной определении 2 посредством перемножения некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ на само себя $n$ раз.

Формула Муавра показывает, что возводя некоторое комплексное число в целую положительную степень, необходимо модуль числа возвести в данную степень, а аргумент комплексного числа умножить на показатель степени.

Пример 2

Вычислить степени $z^{3} ,\, \, z^{5} $ данного комплексного числа $z=2\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.

Решение:

Воспользуемся формулой Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi _{1} ).\]

Вычисляя $z^{3} $, получим:

\[z^{3} =2^{3} \cdot \left(\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(3\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=8\cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right).\]

Вычисляя $z^{5} $, получим:

\[z^{5} =2^{5} \cdot \left(\cos \left(5\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(5\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=32\cdot \left(\cos \frac{5\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{2} \right)=32\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right).\]

При возведении некоторого комплексного числа, представленного в алгебраической форме, в степень с большим показателем необходимо выполнить следующие действия:

  • представить число в тригонометрической форме;
  • возвести число в степень по формуле Муавра;
  • при необходимости перевести число в алгебраическую форму.
Пример 3

Вычислить степени $z^{2} ,\, \, z^{4} $ некоторого комплексного числа $z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i$.

Решение:

Представим число в тригонометрической форме:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$, где $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $ и $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

По условию $a=\frac{1}{2} ,b=\frac{1}{2} $.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} .\]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{1/2}{1/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} \right).\]

Далее воспользуемся формулой Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Вычисляя $z^{2} $, получим:

\[z^{2} =\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} \cdot \left(\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(2\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\sin \frac{\pi }{2} \right).\]

Запишем ответ в алгебраической форме:

\[z^{2} =\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\sin \frac{\pi }{2} \right)=\frac{1}{2} \cdot \left(0+1\cdot i\right)=0+\frac{1}{2} \cdot i.\]

Вычисляя $z^{4} $, получим:

\[z^{4} =\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{4} \cdot \left(\cos \left(4\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(4\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=\frac{1}{4} \cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right).\]

Запишем ответ в алгебраической форме:

\[z^{4} =\frac{1}{4} \cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=\frac{1}{4} \cdot (-1+0\cdot i)=-\frac{1}{4} +0\cdot i.\]

При возведении некоторого комплексного числа, представленного в показательной форме, в степень можно воспользоваться следующим свойством:

\[z^{n} =(r\cdot e^{i\cdot \varphi } )^{n} =r^{n} \cdot (e^{i\cdot \varphi } )^{n} =r^{n} \cdot e^{i\cdot \varphi \cdot n} .\]
Пример 4

Вычислить степени $z^{3} ,\, \, z^{5} $ данного комплексного числа $z=2\cdot e^{i\cdot \pi } $.

Решение:

Воспользуемся формулой:

\[z^{n} =(r\cdot e^{i\cdot \varphi } )^{n} =r^{n} \cdot e^{i\cdot \varphi \cdot n} .\]

Вычисляя $z^{3} $, получим:

\[z^{3} =\left(2\cdot e^{i\cdot \pi } \right)=2^{3} \cdot e^{i\cdot 3\pi } =8\cdot e^{i\cdot 3\pi } =8\cdot e^{(0+i\cdot \pi )+2\pi \cdot i} =8\cdot e^{(0+i\cdot \pi )} =8\cdot e^{i\cdot \pi } .\]

Вычисляя $z^{5} $, получим:

\[z^{5} =\left(2\cdot e^{i\cdot \pi } \right)^{5} =2^{5} \cdot e^{i\cdot 5\pi } =32\cdot e^{i\cdot 5\pi } =32\cdot e^{(0+i\cdot 3\pi )+2\pi \cdot i} =32\cdot e^{(0+i\cdot 3\pi )} =32\cdot e^{(0+i\cdot \pi )+2\pi \cdot i} =32\cdot e^{i\cdot \pi } .\]

При возведении некоторого комплексного числа, представленного в показательной форме, в степень можно выполнить следующие действия:

  • представить число в тригонометрической форме;
  • возвести число в степень по формуле Муавра;
  • при необходимости перевести число в показательную форму.
Пример 5

Вычислить степени $z^{6} $ данного комплексного числа $z=1\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} } $.

Решение:

По условию $r=1,\varphi =\frac{\pi }{6} $.

Подставим полученные значения и получим число в тригонометрической форме:

\[z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} \right).\]

Далее воспользуемся формулой Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Вычисляя $z^{6} $, получим:

\[z^{6} =1^{6} \cdot \left(\cos \left(6\cdot \frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(6\cdot \frac{\pi }{6} \right)\right)=1\cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right).\]

Запишем ответ в показательной форме:

\[z^{6} =1\cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=1\cdot e^{i\cdot \pi } .\]

Формулу Муавра можно применять при вычислении косинусов и синусов углов, например, $\cos 3\varphi $, $\sin 3\varphi $ и т.д.

При $r=1$ формула Муавра записывается следующим образом:

\[(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n} =\cos n\varphi +i\sin n\varphi .\]

Рассмотрим применение формулы Муавра для вычисления тройных углов ($n=3$).

\[(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{3} =\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi \]\[\cos ^{3} \varphi +i\cdot 3\cos ^{2} \varphi \cdot \sin \varphi -3\cos \varphi \cdot \sin ^{2} \varphi -i\cdot \sin ^{3} \varphi =\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi \]

По определению равенства двух заданных комплексных числе получим:

\[\cos 3\varphi =\cos ^{3} \varphi -3\cos \varphi \cdot \sin ^{2} \varphi \]

и

\[\sin 3\varphi =\sin ^{3} \varphi +3\cos ^{2} \varphi \cdot \sin \varphi .\]