Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Тригонометрические функции / Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями
Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями

Свойства обратных тригонометрических функций

Для начала напомним свойства обратных тригонометрических функции, которые будут нам необходимы при решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

${arcsin \left(-x\right)\ }=-arcsinx$



Рисунок 1.

${arccos \left(-x\right)\ }=\pi -arccosx$



Рисунок 2.

${arctg \left(-x\right)\ }=-arctgx$



Рисунок 3.

${arcctg \left(-x\right)\ }=\pi -arcctgx$



Рисунок 4.



Рисунок 5.

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

  1. $arcsinf(x)=arcsing(x)\Leftrightarrow $



Рисунок 6.

  1. $arccosf(x)=arccosg(x)\Leftrightarrow $



Рисунок 7.

  1. $arctgf(x)=arctgg(x)\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$

  2. $arcctgf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$

  3. $arctgf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f\left(x\right)g\left(x\right)=1$

  4. $arcsinf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{g^2\left(x\right)+1}$

  5. $arccosf(x)=arctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{g^2\left(x\right)+1}$

  6. $arcsinf(x)=arctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{g^2\left(x\right)}{g^2\left(x\right)+1}$

  7. $arccosf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{g^2\left(x\right)}{g^2\left(x\right)+1}$

Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

  1. $arcsinf\left(x\right)



Рисунок 8.

  1. $arccosf\left(x\right)



Рисунок 9.

  1. $arctgf\left(x\right)

  2. $arcctgf\left(x\right)g\left(x\right)$

Примеры задач на решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1

Решить уравнение ${arcsin \left(\frac{x}{4}\right)\ }=arcsin (x^2+\frac{x}{4}-9)$

Решение.

По формуле 1 получим, что данное уравнение равносильно следующей системе



Рисунок 10.

Ответ: $\pm 3$.

Пример 2

Решить уравнение $3arctg\left(x-2\right)=1$

Решение.

\[arctg\left(x-2\right)=\frac{1}{3}\]

$\frac{1}{3}$ можно записать в следующем виде: $\frac{1}{3}=arctg(tg\frac{1}{3})$

Получим: $arctg\left(x-2\right)=arctg(tg\frac{1}{3})$

По третьей формуле, получим:

\[x-2=tg\frac{1}{3}\] \[x=tg\frac{1}{3}+2\]

Ответ: $tg\frac{1}{3}+2$.

Пример 3

Решить неравенство ${arccos \left(x^2-2x\right)\ }\le arccos (x)$

Решение.

По формуле 11, получим, что данное неравенство равносильно системе:



Рисунок 11.

Ответ: $\left(-\infty ,0\right].$