Уравнение Бернулли

Характеристика уравнения Бернулли

При этом на число $n$ накладываются ограничения:

• $n\ne 0$, так как при $n = 0$ дифференциальное уравнение представляет собой линейное неоднородное, и какой-то иной специальный метод решения в этом случае не нужен;
• $n\ne 1$, так как если мы имеем в качестве $n$ единицу, дифференциальное уравнение представляет собой линейное однородное, метод решения которого также известен.

Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$.

Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли.

Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному

Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие:

1. Умножаем уравнение на число $y^{-n} $ и получаем $y^{-n} \cdot y'+P\left(x\right)\cdot y^{1-n} =Q\left(x\right)$.
2. Применяем замену $z=y^{1-n} $ и дифференцируем это равенство как сложную степенную функцию; получаем $z'=\left(1-n\right)\cdot y^{-n} \cdot y'$, откуда $\frac{z'}{1-n} =y^{-n} \cdot y'$.
3. Подставляем значения $y^{1-n} $ и $y^{-n} \cdot y'$ в данное дифференциальное уравнение и получаем $\frac{z'}{1-n} +P\left(x\right)\cdot z=Q\left(x\right)$ или $z'+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)$.

Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем следующим образом:

1. Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
2. Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
3. Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
4. Возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $, и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=1$ при $x=1$.

В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде.

При этом $n=2$, $P\left(x\right)=\frac{1}{x} $, $Q\left(x\right)=4-x^{2} $.

Представляем его в форме относительно замены $z$:

$z'+\left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^{2} \right)$ или $z'-\frac{1}{x} \cdot z=-\left(4-x^{2} \right)$.

Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем описанным выше методом.

Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.

Имеем $I_{1} =\int \left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.

Выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $.

Имеем:

Записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$, то есть $u\left(x,C\right)=\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции $z$ в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $z=\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Теперь возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $:

$y^{1-2} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме.

Для поиска частного решения используем данное начальное условие $y=1$ при $x=1$:

Следовательно, частное решение имеет вид: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac{x}{2} $.

Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки

Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения $y'+\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$ методом подстановки.

Применяем подстановку $y=u\cdot v$.

После дифференцирования получаем:

Функцию $v\left(x\right)$ находим из уравнения $v'+\frac{v}{x} =0$, для этого переносим второе слагаемое в правую часть.

Получаем:

$\frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} $;

разделяем переменные $\frac{dv}{v} =-\frac{dx}{x} $;

интегрируем $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откуда $v=\frac{1}{x} $.

Функцию $u\left(x\right)$ находим из уравнения $u'\cdot \frac{1}{x} =u^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} } \cdot \left(4-x^{2} \right)$, в котором учтено $v=\frac{1}{x} $ и $v'+\frac{v}{x} =0$.

После простых преобразований получаем: $u'=u^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)$.

Разделяем переменные: $\frac{du}{u^{2} } =\frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)\cdot dx$.

Интегрируем: $-\frac{1}{u} =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac{x^{2} }{2} +C$ или $\frac{1}{u} =\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac{1}{x} $, откуда $u=x\cdot y$.

Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.