Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение монотонности последовательности

Все предметы / Математика / Определение монотонности последовательности

Для начала вспомним, что называют последовательностью и дадим ей определение:

Определение 1

Числовая последовательность — это некоторое множество элементов, каждый член которого изменяется по определённой закономерности, при этом каждому элементу приписывается некоторое число из натурального ряда.

В качестве примера для иллюстрации данной темы можно привести арифметическую прогрессию $a, a + d, a+2d, …,a+(n-1)d,…$,в ней каждому элементу соответствует номер $1, 2, 3,...n$, являющийся целым и неотрицательным числом. Другой пример последовательности — геометрическая прогрессия, её элементы представлены ниже: $a, aq, aq^2,…,aq^{n-1},...$.

Что такое монотонность последовательности

Монотонной называют последовательность, которая на всём своём промежутке всё время увеличивается или уменьшается.

Определение 2

Последовательность называется возрастающей, если соблюдается условие $x_1$ $n$, то $x_{n’}$ > $x_n$. Иными словами, подразумевается, что члену с более большим индексом соответствует большее значение, то есть при увеличении индекса элементы монотонно возрастают.

Также существует монотонно неубывающая разновидность, её можно описать неравенством $x_1$ ≤ $x_2$ ≤ $... x_i …$ ≤ $x_n$ ≤ $x_{n+1}$ ≤ $…$.

Последовательность является монотонно убывающей, если соблюдается условие $x_1 > x_2 >... x_i...> x_n > x_{n+1} >…$. Используем альтернативную формулировку: если $n’$ > $n$, то $x_{n’}$

Готовые работы на аналогичную тему

Для того чтобы понять, является ли функция монотонно убывающей или возрастающей, необходимо:

  1. Записать, чему равны $y_n$ и $y_{n+1}$.
  2. Найти разность между $y_{n+1}$ и $y_n$.
  3. Рассмотреть знак полученного на втором этапе выражения, если он отрицательный — последовательность убывающая, а если положительный – возрастающая.

Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях

Для возрастающей последовательности:

Определение 3

Если последовательность монотонно убывает и является ограниченной сверху $x_n$ ≤ $M$, при этом число $M$ является некоторой константой, а $n=1, 2, 3,…$, то эта последовательность обязательно имеет конечный предел.

Аналогичным образом звучит теорема для убывающей разновидности:

Определение 4

Последовательность $x_n$, ограниченная снизу некоторой величиной $m$ и монотонно убывающая, имеет некоторый конечный предел.

Пример 1

Исследовать на монотонность закономерность вида $y_n=\frac{n^2}{4^n}$.

Решение:

Рассмотрим члены последовательности $y_n=\frac{n^2}{4^n}$ и $y_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{4^{n+1}}$.

Для того чтобы понять, как она ведёт себя, запишем разность данных элементов:

$y_{n+1}-y_{n}= \frac{(n+1)^2}{4^{n+1}} - \frac{n^2}{4^n}=\frac{(n^2+2n+1)-4n^2}{4^(n+1)}=\frac{1+2n-3n^2}{4^(n+1)}$.

Так как $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, то $2n+1$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис