Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Предел последовательности

Определение числовой последовательности

Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.

Определение 1

Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.

Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.

Определение 3

Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).

Определение 4

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).

Определение 5

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).

Определение 6

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.

Определение 7

Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 8

Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.

Определение 9

Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.

Предел числовой последовательности

Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.

Определение 10

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|

Определение 11

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Определение 12

Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$

С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.

Определение 13

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

Свойства предела числовой последовательности

  1. Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

  2. Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.

  3. Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства

и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то

Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:

  1. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

  2. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$.

Теорема 2

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной числовой последовательности $\left(x_n\right)$ можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, которая имеет конечный предел.

Теорема 3

Теорема - Критерий Больцано-Коши

Для того чтобы числовая последовательность $(x_n)$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любых номеров $n,\ m >N$ выполняется равенство $\left|x_n-x_m\right|

Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности

Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.

Пример 1

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }=\infty \]
Пример 2

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }$

Решение:

Правило 2: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя меньше степени знаменателя, то данный предел равен $0$.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }=0\]
Пример 3

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя равна степени знаменателя, то данный предел равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис