Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Критерий Коши сходимости последовательности

Все предметы / Математика / Критерий Коши сходимости последовательности
Содержание статьи

Определение последовательности

Для начала приведём вводное определение.

Определение 1

Последовательность $\{x_n\}$ определена тогда, когда каждому натуральному числу $n=1,2,3,...$ поставлено в соответствие в силу некоторого закона число $x_n$. Числа $x_n$ - члены или элементы последовательности.

Пример последовательности: $\{2^n\}=2,4,8,...$.

Ключевое значение в рассматриваемой теме имеет понятие фундаментальной последовательности. Дадим определение.

Определение 2

Фундаментальная последовательности (или последовательность Коши) - это последовательность, в которой для любого числа $\omega$ больше $0$ найдётся номер $N$, что из $n$ > $N$, $m$ > $N$ следует равенство $|x_m-x_n|$

Критерий Коши сходимости последовательности

Сформулируем критерий Коши:

Теорема 1

Числовая последовательность сходится тогда и лишь тогда, когда она фундаментальна.

Этот критерий лежит в основе других теорем, в том числе о

  • несобственном интеграле,
  • функциональном ряде,
  • функциональной последовательности,
  • пределе последовательности,
  • пределе функции.

Примеры на данную тему сводятся к доказательству, что та или иная последовательность сходится или нет из условий вышеприведённой теоремы и определения фундаментальной последовательности.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис