Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ и их графики

Содержание статьи

Функция $f(x)=x^2$

Для начала вспомним определение квадратичной функции.

Определение

Функция вида $y=ax^2+bx+c$, где $a$ отлично от нуля, называется квадратичной функцией.

Функция $f\left(x\right)=x^2$ является частным случаем квадратичной функции, когда $a=1,\ b,c=0$. Графиком такой функции называется парабола.

Исследуем и построим график функции $f\left(x\right)=x^2$

  1. Область определения -- все числа.
  2. Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то область значения $[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)={(-x)}^2=x^2=f(x)$. Значит функция четна.
  4. При $x=0,\ y=0$ -0 функция проходит через начало координат.
  5. $f'\left(x\right)={\left(x^2\right)}'=2x$
  6. \[2x=0,\] \[x=0\]

    Методом интервалов, получим:

    Функция возрастает при $x\in (0,+\infty )$

    Функция убывает при $x\in (-\infty ,0)$

  7. $f^{''}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{''}=2>0$.
  8. Следовательно, функция выпукла на всей области определения.

    \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]
  9. Для построения графика функции составим таблицу её значений:
  10. определение квадратичной функции

  11. График функции -- парабола (рис. 1)

Парабола

Рис. 1. Парабола $f\left(x\right)=x^2$.

Функция $f(x)=x^3$

Для начала вспомним определение кубической функции.

Определение

Функция вида $y=ax^3+bx^2+cx+d$, где $a$ отлично от нуля, называется кубической функцией.

Функция $f\left(x\right)=x^3$ является частным случаем кубической функции, когда $a=1,\ b,c=0$. Графиком такой функции называется кубическая парабола.

Исследуем и построим график функции $f\left(x\right)=x^3$

  1. Область определения -- все числа.
  2. Область значения -- все числа
  3. $f\left(-x\right)={(-x)}^3=-x^3=-f(x)$. Значит функция нечетна.
  4. При $x=0,\ y=0$ -0 функция проходит через начало координат.
  5. $f'\left(x\right)={\left(x^3\right)}'=3x^2$
  6. \[3x^2=0,\] \[x=0\]

    Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то функция убывает на всей области определения.

  7. $f^{''}\left(x\right)={\left(3x^2\right)}^{''}=6x$.
  8. \[6x=0\] \[x=0\]

    Методом интервалов, получим:

    Функция выпукла при $x\in (0,+\infty )$

    Функция вогнута при $x\in (-\infty ,0)$

    \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^2\ }=-\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]
  9. Для построения графика функции составим таблицу её значений:
  10. определение квадратичной функции

  11. График функции -- кубическая парабола (рис. 2)

Парабола

Рис. 2. Кубическая парабола $f\left(x\right)=x^3$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис