Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба

Выпуклая и вогнутая функция

При исследовании заданной функции и построении ее графика встречаются понятия выпуклая и вогнутая функция.

Если функция $y=f(x)$ является дифференцируемой, тогда необходимо рассмотреть следующие определения.

Определение 1

Функция $y=f(x)$ называется выпуклой вниз на некотором интервале, если все точки графика этой функции расположены не ниже касательной, которая проведена к нему в любой точке рассматриваемого интервала.

Функция $y=f(x)$ называется выпуклой вверх на некотором интервале, если все точки графика этой функции расположены не выше касательной, которая проведена к нему в любой точке рассматриваемого интервала.

Схематическое изображение графиков выпуклой вниз (вогнутая функция) и выпуклой вверх (выпуклая) функций показано на рис.

Графики выпуклой и вогнутой функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Графики выпуклой и вогнутой функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости графика заданной функции необходимо использовать следующие теоремы.

Теорема 1

Если $f''(x)$

Теорема 2

Если $f''(x)>0$ для любой точки из рассматриваемого интервала, то график заданной функции на данном интервале направлен выпуклостью вниз.

Пример 1

Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции $y=x^{5} $:

Решение:

Первая производная: $y'=5x^{4} $; вторая производная: $y''=20x^{3} $. Исследуя знак второй производной кривой, получаем, что $f''(x)0\, \, \forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.$, ,

Правило дождя

Для облегчения запоминания данных теорем можно использовать так называемое «правило дождя» (см. рис.).

Правило дождя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Правило дождя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Правило дождя»:

  • если $f''(x)$
  • если $f''(x)>0$ (знак «+» соответствует киванию головы вверх-вниз, т.е. «да»), то лужа образуется, а значит, дождь падает во впадину (выпуклость вниз).

Отметим, что график может быть выпуклым или вогнутым на всей области определения заданной функции, а может только на отдельных промежутках. В таких случаях промежутки выпуклости и вогнутости сменяют друг друга.

Пример 2

Найти промежутки выпуклости/вогнутости графика заданной функции $y=x^{3} $.:

Решение:

$y'=3x^{2} $; вторая производная: $y''=6x$.

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что $f''(x)$0\, \, \forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.

Определение 2

Точка перегиба - это такая точка графика выпуклой функции, которая разделяет промежутки выпуклости/вогнутости графика.

В примере 1 $x=0$ является точкой перегиба, так как при переходе через эту точку меняется поведение графика функции (в частности, с выпуклости на вогнутость).

Необходимое условие точки перегиба: В точке перегиба $(x_{0} ;y_{0} )$ вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба:

  • $f'(x_{0} )$ непрерывна в окрестности заданной точки;
  • $f''(x_{0} )=0$ или не существует в заданной точке;
  • $f''(x)$ меняет знак на противоположный при переходе через заданную точку.

Учитывая все выше сказанное, составим алгоритм исследования выпуклости и вогнутости функции:

  • нахождение первой производной $f'(x)$ заданной функции;
  • нахождение второй производной $f''(x)$ заданной функции;
  • определение точек, в которых $f''(x)$ равна нулю или не существует;
  • исследование знака $f''(x)$ с помощью числовой прямой;
  • определение промежутков выпуклости и вогнутости графика заданной функции;
  • нахождение интервалов выпуклости и точки перегиба функции, если они существуют.
Пример 3

Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=4x^{2} -3$.

Решение:

Первая производная: $y'=8x$; вторая производная: $y''=8$.

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что $f''(x)>0\, \, \forall x\in D_{y} $. Следовательно, график направлен выпуклостью вниз при любом $x$. Точек перегиба нет.

Пример 4

Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=\frac{3}{x^{2} -1} $.

Решение:

Первая производная: $y'=\frac{0\cdot (x^{2} -1)-3\cdot 2x}{(x^{2} -1)^{2} } =-\frac{6x}{(x^{2} -1)^{2} } $.

Вторая производная: $y''=-\frac{6\cdot (x^{2} -1)^{2} -6x\cdot 2x\cdot 2\cdot (x^{2} -1)}{(x^{2} -1)^{4} } =-6\cdot \frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } $.

Вторая производная не существует при $x=\pm 1$.

\[\begin{array}{l} {y''=0:-6\cdot \frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } =0\Rightarrow x^{2} -4x-1=0} \\ {x^{2} -4x-1=0} \\ {D=16+4=20} \\ {x_{1} =\frac{4-\sqrt{20} }{2} =2-\sqrt{5} ;x_{2} =\frac{4+\sqrt{20} }{2} =2+\sqrt{5} } \end{array}\]

Изобразим на числовой оси (см. рис.).

Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получаем, что:

  • $f''(x)>0\, \, \forall x\in (-1;2-\sqrt{5} ]\bigcup (1;2+\sqrt{5} ]$,
  • $f''(x)

Следовательно, график направлен выпуклостью вверх на промежутках $(-\infty ;-1)$, $[2-\sqrt{5} ;1)$ и $(1;+\infty )$, вниз на промежутках - $(-1;2-\sqrt{5} ]$ и $(1;2+\sqrt{5} ]$.