Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Определение 1

Согласно теореме Вейерштрасса, любая монотонная ограниченная последовательность ${x_n}$ имеет конечный предел. Он равен точной верхней границе для нестрого возрастающей последовательности и точной нижней для нестрого убывающей.

Математически это выражается как

$\lim\limits_{n \to \infty} = \sup x_n$ - для возрастающих и

$\lim\limits_{n \to \infty} = \inf x_n$ - для убывающих последовательностей.

Замечание 1

Теорема Вейерштрасса устанавливает пределы монотонных ограниченных последовательностей, но не содержит способов нахождения пределов.

Рассмотрим неубывающую ограниченную последовательность. Для всех $n$ в ней справедливо неравенство:

Помощь со студенческой работой на тему
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

$x_{n + 1} \geq x_n$.

Верхняя граница последовательности:

$a = \sup \{x_n\}$

Это значит, что

  1. для всех $n$ соблюдается $x_n \leq a$;
  2. для любого числа $\epsilon \gt 0$ можно найти натуральное число $N$, такое, что

$x_N \gt a - \epsilon$.

Всегда существуют $x_n$, такие, что:

$x_n \gt x_N \gt a - \epsilon$.

$a - \epsilon \lt x_n \leq a$

$a \lt a + \epsilon \implies a - \epsilon \lt x_n \lt a + \epsilon$

или

$|x_n - a| \lt \epsilon$ при $n > N$.

Это и означает, что число $a$ является пределом последовательности.

Для невозрастающей ограниченной последовательности рассуждения аналогичны. Полное доказательство теоремы Вейерштрасса показывает, что пределами неограниченной неубывающей и неограниченной невозрастающей последовательностей являются, соответственно, $\infty$ и $-\infty$.

Пример 1

Доказать, что последовательность $\{x_n\} = \{\frac{10}{n}\}$ сходится.

  1. Члены последовательности всегда больше $0$, поскольку числитель и знаменатель при натуральных значениях $n$ положительны.
  2. Последовательность является монотонной, т.к. разность между любыми ее соседними членами $x_n - x_{n +1}$ всегда больше нуля.

Выразим предел как:

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{10}{n} = \Big[\frac{10}{\infty}\Big] = 0 $

Ответ: последовательность ограничена снизу, убывающая и монотонная, следовательно у нее есть нижний предел. В данном случае это число 0.