Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сравнение рядов с положительными членами

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Ряды / Сравнение рядов с положительными членами
Сравнение рядов с положительными членами

Установление сходимости или расходимости числового ряда - основной вопрос теории рядов; нахождение суммы ряда в случае его сходимости -- второстепенная задача. Вопрос сходимости проще всего решается для знакопостоянных рядов, когда все члены ряда одного знака. Для определённости будем рассматривать ряды с положительными ($a_{n} $$>0$) или с неотрицательными членами ($a_{n} $$\ge 0$). Характерным свойством таких рядов является монотонное возрастание (не убывание) последовательности частичных сумм:

Выяснение сходимости рядов с положительными членами опирается на признаки сходимости, которые являются либо необходимыми, либо достаточными, либо необходимыми и достаточными.

Теорема 1

Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство (необходимость)

Пусть ряд сходится, тогда последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена сверху.

Доказательство (достаточность)

Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел, т.е. соответствующий ряд сходится (теорема Вейерштрасса для числовых последовательностей). Теорема доказана.

Следует отметить, что на практике этот признак трудно применим, хотя и представляет собой большой теоретический интерес.

Рассмотрим некоторые признаки, устанавливающие сходимость или расходимость рядов с положительными членами путём сравнения их с рядами, сходимость или расходимость которых известна.

Теорема 2 (I признак сравнения рядов с положительными членами)

Пусть даны 2 ряда с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $.Если, начиная с некоторого номера N, для всех $n\ge N$ выполняется неравенство $a_{n} \le b_{n} $, тогда

  1. из сходимости ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $ следует сходимость ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $,
  2. из расходимости ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ следует расходимость ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $.
Доказательство

На основании того, что отбрасывание конечного числа членов (свойство рядов) не влияет на сходимость или расходимость ряда, можно считать, не нарушая общности, что условие $a_{n} \le b_{n} $ выполнено для всех $n\ge 1$. Пусть $A_{n} $ - частичная сумма ряда $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k} $, а $B_{n} $ - частичная сумма ряда $\sum \limits _{k=1}^{\infty }b_{k} $. По условию

\[A_{n} =a_{1} +a_{2} +\ldots +a_{n} \, \le \, b_{1} +b_{2} +...+b_{n} =B_{n} .\]
  1. Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $сходится, то последовательность $\left\{B_{n} \right\}$ ограничена сверху, а значит, ограничена сверху и последовательность $\left\{A_{n} \right\}$. Следовательно, по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с положительными членами ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ сходится, так как существует конечный предел последовательности $\left\{A_{n} \right\}$.
  2. Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ расходится, то последовательность $\left\{A_{n} \right\}$ не ограничена, а значит, не ограничена и последовательность $\left\{B_{n} \right\}$. Тогда по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $ расходится. Теорема доказана.
Пример 1

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } =1+\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...$.

Решение. Обозначим $\frac{1}{\sqrt{n} } =b_{n} $. Сравним ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $ с гармоническим рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n} = \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, a_{n} $. При $n\ge 2$ $b_{n} =\frac{1}{\sqrt{n} } \ge \frac{1}{n} =a_{n} $, а так как гармонический ряд

расходится, то расходится и ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } $.

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } $ расходится.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд

\[\sum \limits _{k=1}^{\infty }\, \frac{1}{k\cdot 2^{k} } =\frac{1}{2} +\frac{1}{8} +\frac{1}{24} +\frac{1}{64} +\ldots .\]

Решение. Обозначим $\frac{1}{k\cdot 2^{k} } =a_{k} $. Сравним данный ряд $\sum \limits _{k=1}^{\infty }\, a_{k} $с рядом

геометрической прогрессии $\sum \limits _{k=1}^{\infty }b_{k} = \sum \limits _{k=1}^{\infty }\, \frac{1}{2^{k} } =\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\ldots \, =\frac{\frac{1}{2} }{-\frac{1}{2} +1} =1$, который сходится, так как знаменатель прогрессии $q=\frac{1}{2} $, то первые члены ряда равны, а при $k \ge 2$, $a_{k}

Ответ: ряд $\sum \limits _{k=1}^{\infty }\, \frac{1}{k\cdot 2^{k} } $ сходится.

Теорема 3 (предельный признак сравнения рядов с положительными членами)

Даны 2 ряда с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n} $и пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } =C,\, \, \, C\ne 0,\, \, \, C\ne \infty $, тогда эти два ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.

Доказательство

Так как по условию $a_{n} >0,\, \, \, b_{n} >0,\, \, \, \forall n=1,\, 2,\, 3,\, ...$ и $C=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } $, то согласно свойству предела $C\ge 0$. По условию $\, C\ne 0$, значит, $C>0$. По определению предела для всех ${\rm \varepsilon }>0$ существует окрестность $(C-{\rm \varepsilon },\, ^{} C+{\rm \varepsilon })$ точки С такая, что $C-{\rm \varepsilon }>0$ и существует такое натуральное число $N$, зависящее от ${\rm \varepsilon }$, что для всех $n\ge N$ выполняется неравенство $C-{\rm \varepsilon }

Если ряд $\sum \limits _{n=N+1}^{\infty }\, \, \, b_{n} $ сходится, то сходится и ряд $\sum \limits _{n=N+1}^{\infty }\, \, \, b_{n} (C+{\rm \varepsilon })$ (свойство рядов), откуда по I признаку сравнения рядов следует сходимость ряда $\sum \limits _{n=N+1}^{\infty }\, \, \, a_{n} $, так как $a_{n}

Если же ряд $\sum \limits _{n=N+1}^{\infty }\, \, \, b_{n} $ расходится, то расходится и ряд $\sum \limits _{n=N+1}^{\infty }\, \, \, b_{n} (C-{\rm \varepsilon })$, а так как $\left(C-{\rm \varepsilon }\right)\, b_{n}

Замечание

Если $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } =C$, $C=0$ или $C=\infty $, то предельный признак не применим.