Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Последовательности. Числовые последовательности

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Последовательности. Числовые последовательности
Последовательности. Числовые последовательности

Понятие числовой последовательности

Введем два определения числовой последовательности:

Определение 1

Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью.

Математически это можно записать следующим образом:

$f:N→R$

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ - действительные числа.

Способы задания

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

  • Аналитический.

    В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

    Пример: $p_k=\frac{k^2+2k+7}{k-6}$.

  • Рекуррентный.

    Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

    Пример: $p_1=10,p_2=1,p_{k+1}=2p_{k-1}+p_k$.

  • Словесный.

    При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

    Пример: Последовательность абсолютных значений отрицательных чисел.

Примеры задач

Пример 1

Найти первые $5$ членов последовательности, которая задана аналитически

$p_k=\frac{k^2+2k+7}{k-6}$

Решение.

Для этого нам необходимо в данное аналитическое выражение числа $1, 2, 3, 4 \ и \ 5$.

$k=1$.

$p_1=\frac{1^2+2+7}{1-6}=-2$

$k=2$.

$p_2=\frac{4+4+7}{2-6}=\frac{-15}{4}=-3.75$

$k=3$.

$p_3=\frac{9+6+7}{3-6}=\frac{-22}{3}$

$k=4$.

$p_4=\frac{16+8+7}{4-6}=\frac{-31}{2}=-15.5$

$k=5$.

$p_5=\frac{25+10+7}{5-6}=-42$

Ответ: $-2$, $-3.75$, $\frac{-22}{3}$, $-15.5$, $-42$.

Пример 2

Найти первые $5$ члена последовательности, которая задана рекуррентно

$p_1=10,p_2=1,p_{k+1}=2p_{k-1}-p_k$

Решение.

Первые два члена уже даны. Найдем из рекуррентной формулы $3$ и $4$члены:

Третий член по данной формуле равен

$p_3=2p_1-p_2=20-1=19$.

Четвертый член по данной формуле равняется

$p_4=2p_2-p_3=2-19=-17$.

Пятый член по данной формуле равняется

$p_5=2p_3-p_4=38+17=55$.

Ответ: $10, 1, 19, -17, 55$.

Пример 3

Записать последовательность, которая задана словесно, рекуррентным способом и записать ее: Первые два числа равняются двум и единице, а остальные равняются произведению двух предыдущих.

Решение.

Очевидно, что

$p_1=2,p_2=1$

Условию далее, можно записать следующее рекуррентное соотношение:

$p_{k+2}=p_{k+1}\cdot p_k$

Тогда последовательность имеет вид:

$2,1,2,2,4,8,32,…$

Ответ: $p_1=2,p_2=1,p_{k+2}=p_{k+1}\cdot p_k$.

$2,1,2,2,4,8,32,….$

Пример 4

Записать последовательность, которая задана словесно, аналитическим способом и записать ее: Последовательность чисел, в которой натуральное число складывается с тройкой и делится на $2$.

Решение.

Обозначим произвольное натуральное число через $k$. Тогда формула аналитической записи описанной выше последовательности имеет вид:

$p_k=\frac{k+3}{2}$

Тогда последовательность имеет вид:

$2,2.5,3,3.5,4,…$

Ответ: $p_k=\frac{k+3}{2}$.