Комплексные числа. Основные законы электрических цепей в комплексной форме
Комплексное число – это число вида а + сi, где а и с - вещественные числа, а i - мнимая единица, то есть число для которого выполняется равенство i(2) = -1.
Множество комплексных чисел может обозначаться С. Вещественные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел и имеют следующий вид а + 0i. Главное свойство комплексного числа заключается в том, что в нем выполняется основная теорема алгебры, то есть многочлен n-ой степени (n ⩾ 1) имеет n корней. Также доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.
Основная теорема алгебры представляет собой утверждение, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть любой многочлен, который отличен от константы, с комплексными коэффициентами имеет минимум один корень в поле комплексных чисел. Такое утверждение справедливо для многочленов с вещественными коэффициентами, потому что всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.
Необходимость применения комплексных чисел появилась в результате решения кубических уравнений, так как в формуле Кардано под квадратным корнем получалось отрицательное число. В изучение комплексных чисел большой вклад внесли такие ученые, как Эйлер, Гаусс и Декарт. Свойства комплексных чисел позволяют использовать их в решении разнообразных задач в области теории упругости, математики, обработке сигналов, теории колебаний, электромагнетизме, теории управления и т.п.
Законы электрических цепей переменного тока в комплексной форме имеют такой же вид, как цепи постоянного электрического тока, с заменой постоянных величин следующим образом:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
К основным законам электроцепей относятся:
- Закон Ома.
- Первый закон Кирхгофа.
- Второй закон Кирхгофа.
В комплексной форме закон Ома будет иметь следующий вид:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Первый закон Кирхгофа в применении к узлу в комплексной форме выглядит следующим образом:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Второй закон Кирхгофа, применительно к контуру цепи, в комплексной форме можно записать следующим образом:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Достоинство выражения законов электрических цепей в комплексной форме заключается в том, что в них учитываются связь между действующими значениями напряжения и тока, а также сдвиг фаз между ними.
Комплексное сопротивление. Физический смысл
Комплексное электрическое сопротивление (электрические импеданс) – это комплексное сопротивление между двумя узлами электрической цепи или двухполюсника для гармонического колебания.
Комплексное сопротивление представляет собой отношение комплексной амплитуды напряжение гармонического сигнала, которое прилагается к двухполюснику, к комплексной амплитуде электрического тока, который протекает через двухполюсник при установившемся режиме (то есть по окончании переходных процессов в цепи). Для пассивных линейных цепей, обладающих постоянными параметрами, в установившемся режиме комплексное электрическое сопротивление никак не зависит от времени. В том случае, когда время в математическом выражения для комплексного сопротивления не сокращается, понятие комплексного сопротивления для двухполюсника неприменимо. Сама формула для электрического импеданса выглядит следующим образом:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где: j - мнимая единица; w - круговая частота; U(w). I(w) - амплитуды напряжения и электрического тока на частоте w; фu(w), фi(w) - фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте w; U(jw), I(jw) - комплексные амплитуды напряжения и электрического тока гармонического сигнала на частоте w.
Если рассматривать комплексное электрическое сопротивление в алгебраической форме, то его действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая реактивному. То есть двухполюсник с импедансом z(jw) представляет собой последовательно соединенные резистор с сопротивлением R (z(jw)) и реактивный элемент с комплексным сопротивлением J(z(jw)).
Когда комплексное сопротивление рассматривается в тригонометрической форме, то его модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент соответствует сдвигу фазы между электрическим током и напряжением.
Для резистора комплексное электрическое сопротивление всегда равно его собственном и при этом никак не зависит от частоты, то есть:
$zR=R$
Напряжение и электрический ток в конденсаторе связаны соотношением:
$i(t) = C*(dU/dt)$
Следовательно, при напряжении
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Электрический ток, который протекает через конденсатор, может быть рассчитан следующим образом:
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Отсюда комплексное сопротивление конденсатора рассчитывается по формуле:
$zC(jw) = 1/(jwC) = -(j/(wC).$
Аналогично расчету комплексного сопротивления для конденсатора получают формулу расчета для катушки индуктивности:
$zL(jw)=jwL$
Комплексная проводимость
Комплексная проводимость какого-либо участка электрической цепи представляет собой отношение комплекса электрического тока к комплексу напряжения рассматриваемого участка, таким образом выражение проводимости в комплексной форме будет иметь следующий вид:
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где: У - полная проводимость (модуль комплексной проводимости; ф - аргумент разности фаз напряжения и тока; j - мнимая единица.
Выразить комплексную проводимость можно в следующих формах:
- Показательная.
- Тригонометрическая.
- Алгебраическая.
Показательная форма комплексной проводимости выглядит следующим образом:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В тригонометрической форме ее можно выразить так:
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В алгебраической форме комплексная проводимость имеет следующий вид:
Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где: g = Ycosф - активная проводимость; b = Ysinф - реактивная проводимость.
Пример треугольника проводимостей на комплексной плоскости изображен на рисунке ниже.
Рисунок 12. Треугольник проводимостей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Полную проводимость в данном случае можно рассчитать по формуле:
Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Формула для расчета аргумента, таким образом, будет иметь следующий вид:
$ф = arctg(b/g)$
Комплексная проводимость может быть также определена как величина обратная комплексному сопротивлению:
Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Так как Y = g-jb, то
Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
